Производная по направлению. Градиент

Скалярным полем называется часть пространства (или все пространство), каждой точке которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины.

Примеры

Тело, имеющее в каждой точке определенное значение температуры – скалярное поле.

Неоднородное тело, каждой точке которой соответствует определенная плотность – скалярное поле плотности.

Во всех этих случаях скалярная величина U не зависит от времени, а зависит от положения (координат) точки М в пространстве, то есть -- это функция трех переменных, она называется функцией поля. И обратно, всякая функция трех переменных u=f(x, y, z) задает некоторое скалярное поле.

Функция плоского скалярного поля зависит от двух переменных z=f(x, y).

Рассмотрим скалярное поле u=f(x, y, z).

Вектор, координатами которого являются частные производные функции, вычисленные в заданной точке, называется градиентом функции в этой точке.

или

Рассмотрим некоторый вектор и на нем две точки M₀(x₀, y₀, z₀) и . Найдем приращение функции в направлении :

.

Производной по направлению называется следующий предел, если он существует:

.

где -- направляющие косинусы вектора ; α, β, γ -- углы, которые образует вектор с осями координат.

Для функции двух переменных эти формулы принимают вид:

или ,

так как .

Между градиентом и производной по направлению в одной и той же точке существует связь.

Теорема. Скалярное произведение градиента функции на вектор некоторого направления равно производной данной функции в направлении этого вектора:

.

Следствие. Производная по направлению имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением градиента (обосновать самостоятельно, используя определение скалярного произведения и считая, что ).

Выводы:

1. Градиент – это вектор, показывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке и имеющий модуль, численно равный скорости этого возрастания:

.

2. Производная по направлению – это скорость изменения функции в направлении : если , то функция в этом направлении возрастает,

если , то функция убывает.

3. Если вектор совпадает с одним из векторов , то производная по направлению этого вектора совпадает с соответствующей частной производной.

Например, если , тогда .

Пример (см. задание VII)

Даны функция , точка А(1, 2) и вектор .

Найти: 1) ;

2) .

Решение.

1) найдем частные производные функции и вычислим их в точке А.

, .

Тогда .

2) Найдем направляющие косинусы вектора :

.

Тогда .

Ответ: ;

.

Ниже приведены задания для контрольной работы.

Номер варианта соответствует последней цифре Вашего шифра. Из каждого задания необходимо выполнить пример, номер которого совпадает с номером Вашего варианта.

Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради. Следует указать свой шифр и номер варианта. Условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением.

Отмеченные рецензентом ошибки необходимо исправить в конце работы, сделав работу над ошибками.

Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена.