Рассмотрим функцию определенную и непрерывную на некотором отрезке числовой прямой. Разобьем на n отрезков длины точками . На каждом i- том отрезке берем произвольную точку . Вычисляем значение функции в каждой из этих точек и умножаем его на длину соответствующего отрезка . После чего суммируем по всем отрезкам .
Полученное выражение называют интегральной суммой. Понятие интегральной суммы играет определяющую роль в определении всех интегралов.
Если предел интегральной суммы при стремлении к нулю максимальной длины не зависит ни от способа разбиения отрезка на промежутки , ни от способа выбора точек в каждом из этих промежутков, то он называется определенным интегралом от функции в пределах от а до b и обозначается: .
Свойства определенного интеграла.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI. Если для всех , то
VII. , если a<b.
VIII. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на , то существует точка , такая что