2015-10-22
242
Уравнение вида 
(III)
называют линейным дифференциальным уравнением. Если 
то уравнение называется линейным неоднородным, если 
– линейным однородным.
Линейные неоднородные уравнения могут быть решены методом Бернулли, который заключается в следующем. С помощью подстановки 
где 
и 
две неизвестные функции, исходное уравнение (III) преобразуется к виду
или 
. (IV)
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана совершенно произвольно, за выбираем любое частное решение уравнения 
при этом из (IV) остаётся
Общее решение исходного уравнения находится умножением на v:
.
Пример. Проинтегрировать уравнение 
Решение. Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Положим , тогда 
. Подставим 
и 
в данное уравнение 
Сгруппируем члены, содержащие : 
Подберём так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль: 
или 
тогда 
проинтегрировав, имеем 
, т.е. 
Решим оставшееся уравнение, подставив в него найденное 
: 
Общее решение данного уравнения имеет вид 
.
