Уравнение вида (III)
называют линейным дифференциальным уравнением. Если то уравнение называется линейным неоднородным, если – линейным однородным.
Линейные неоднородные уравнения могут быть решены методом Бернулли, который заключается в следующем. С помощью подстановки где и две неизвестные функции, исходное уравнение (III) преобразуется к виду
или . (IV)
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана совершенно произвольно, за выбираем любое частное решение уравнения при этом из (IV) остаётся
Общее решение исходного уравнения находится умножением на v:
.
Пример. Проинтегрировать уравнение
Решение. Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Положим , тогда . Подставим и в данное уравнение Сгруппируем члены, содержащие : Подберём так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль: или тогда проинтегрировав, имеем , т.е. Решим оставшееся уравнение, подставив в него найденное :
Общее решение данного уравнения имеет вид .