Тема «Элементы линейной алгебры»

Знакомство с использованием определителей начните с простейшего случая решения и исследования системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Изучите свойства определителя второго, а затем третьего порядка.

Особое внимание обратите на то, что вычисление определителей упрощается, если умело пользоваться свойствами определителей.

При изучении вопросов, связанных с исследованием систем линейных алгебраических уравнений, не упустите из виду случай, когда главный определитель системы равен нулю. В этой ситуации формулы Крамера теряют смысл и соответствующие системы уравнений либо несовместны, либо имеют бесчисленное множество решений.

Пример №1: Используя формулы Крамера, решить систему и сделать проверку.

x – 2y + z = 4,

2x + y + 3z = 5

3x + 4y+ z = –2.

Подсчитаем главный определитель системы D, используя правило вычисления определителей третьего порядка.

Имеем:

1 –2 1

D = 2 1 3 = 1* (1–12) + 2 * (2 – 9) +1 * (8 – 3) = – 20.

3 4 1

Так как D ≠ 0, то система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители: D_х, D_у, D_z.

4 –2 1

D_x = 5 1 3 = 4 * (1 -12) – (–2) * (5+6) +1 * (20+2) = 0;

–2 4 1

1 4 1

D_y = 2 5 3 = 1*(5 + б) – 4*(2 – 9) + 1*(– 4 – 15) = 20;

3 -2 1

1 -2 4

D_z = 2 1 5 = 1*(−2 – 20) – (– 2) *(–4 –15) + 4*(8 – 3) = – 40.

3 4 –2

Найдем неизвестные по формуле Крамера:

x = = 0; y = = – 1; z = = 2.

Проверка осуществляется путем подставления полученного решения в каждое уравнение системы:

0 – 2 *(–1) + 2 = 4

2*0 + (–1) + 3*2 = 5

3*0 + 4*(–1) +2 = -2

Все три равенства верные, следовательно, ответ имеет вид(0; –1; 2).