Тема «Элементы аналитической геометрии»

При изучении этой темы, прежде всего, следует усвоить понятие уравнения линии. Подобно тому, как точка в аналитической геометрии определяется координатами, линия определяется уравнением, связывающим координаты любой точки этой линии. Прямая линия является простейшей из линий на плоскости. Изучите различные способы нахождения уравнения прямой, а также плоскости.

Успех решения задач во многом зависит от умелого выбора соответствующего вида уравнения прямой и плоскости.

Пример №1:

Даны координаты вершин треугольника ABC: A(-1;2), В(5;-1), С(-4;-5).

1) Расстояние l между точками M₁ (х_1;у₁) и М₂ (х₂;у₂) находим по формуле: l = |М₁ М₂| = (x₂ – х₁)² + (у₂ – у₁)².

По этой формуле находим длину стороны АВ:

AB| = = = 3 .

2) Уравнение прямой, проходящей через две точки плоскости M₁ (x₁; y₁) и М₂ (х₂; у₂) имеет вид

(1)

Подставляя в это уравнение координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:

Угловой коэффициент k_АB прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx + b.

Получим: 2у = -х+3 => y= – .

Следовательно, k_AB = – .

Аналогично находим: k_BC = .

3) Для нахождения внутреннего угла треугольника ABC воспользуемся формулой: tgB = .

Отметим, что порядок разности угловых коэффициентов, стоящей в числителе дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС. Подумайте, как бы вы стали искать внутренние углы А и С треугольника ABC?

Подставим значения k_АВ и kвс в формулу. Находим:

tgB =

По таблицам В.М. Брадиса или на инженерном микрокалькуляторе получаем B 50°.

4) Для составления уравнения медианы AM найдем сначала координаты точки М, которая является серединой отрезка ВС.

X_M =

y_M =

Теперь подставим в (1) координаты точек А и М, получаем уравнение медианы:

5) Для составления уравнения высоты CD, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку M₀ (x₀; y₀) с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид

y − y_o= k*(x - x_o) (2)

и условием перпендикулярности АВ и CD, которое выражается соотношением

.

Подставим в (2) получим уравнение высоты СD: (CD).

Используя полученные результаты, начертим треугольник АВС на координатной плоскости: