Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида y′′+py′+q=0, где p, q − постоянные коэффициенты.

Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение: k2+pk+q=0.

Общее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие три случая:

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения , если

Решение: имеем уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, разделив каждый член уравнения на произведение :

проинтегрируем обе части уравнения:

интегралы вычислим методом подстановки:

для удобства преобразований примем ,

тогда имеем

после потенцирования получаем общее решение:

Подставив начальное условие в общее решение, находим С

Подставляя найденное значение С в общее решение получаем частное решение.

Ответ: частное решение уравнения (частный интеграл) - или

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , если .

Решение: соберем члены, содержащие dx и dy в разных частях уравнения, а затем разделим переменные:

интегрированием найдем общее решение:

подставив начальное условие в общее решение, находим С:

При найденном значении С из общего интеграла найдем частное решение (частный интеграл) данного уравнения:

Ответ: частное решение