Дифференциальные уравнения

Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется функция , подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

График решения на плоскости xOy называется интегральной кривой уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка часто записывают в виде: или . Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка есть уравнение , где - заданная функция.

Это уравнение имеет бесконечно много решений.

Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения. Поэтому для , функция или , где какая-нибудь первообразная функции , а с – произвольная постоянная, будет общим решением (общим интегралом).

Чтобы выделить единственное решение уравнения, достаточно задать значение искомой функции при фиксированном значении аргумента. Задача нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего условию , где и - заданные числа, называется задачей Коши.

Условие называется начальным условием, а единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям, называется частным решением уравнения (частным интегралом).

Частное решение уравнения с физической точки зрения означает, что в фиксированный (начальный) момент времени задано положение материальной точки, а геометрический смысл состоит в нахождении интегральной кривой уравнения, проходящей через заданную точку.

Дифференциальное уравнение вида y′+a(x)y=f(x), где a(x) и f(x) − непрерывные функции x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

y′+a(x)y=f(x),

то интегрирующий множитель определяется формулой:

u(x)=exp(∫a(x)dx).

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x).

Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде:

y=∫u(x)f(x)dx+Cu(x),

где C − произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно привести к виду . Уравнение этого вида решается с помощью разделения переменных и интегрирования обеих частей полученного уравнения по своей переменной.