Диференціальним рівнянням (надалі, Д.Р.) називається рівняння, що містить похідні або диференціали невідомої функції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференціального рівняння.
Д.Р. вигляду N1(y)M1(x)dx+M2(x)N2(y)dy=0 називаються Д.Р. з відокремленими змінними.
Д.Р. називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді: .
Воно за допомогою заміни змінної Þ зводиться до Д.Р. з відокремлюваними змінними.
Д.Р. виду y’+P(x)y=Q(x) називається лінійним Д.Р. Його розв’язок розшукується у вигляді .
Приклад 1. Розв’язати задачу Коші (знайти загальний розв’язок диференційного рівняння і частинний розв’язок при заданих початкових умовах):
, .
Розв’язання. Запишемо рівняння у диференціалах:
.
Дане рівняння є рівнянням першого порядку з відокремлюваними змінними (тобто може бути зведене до вигляду, коли з одного боку знака рівності присутня тільки залежна змінна y, а з іншого – тільки незалежна змінна x, таку рівність можна про інтегрувати і отримати загальний інтеграл рівняння).
|
|
Виконаємо відокремлення змінних, для чого домножимо рівняння на , в результаті отримаємо рівняння з відокремленими змінними
.
Проінтегруємо отримане рівняння:
,
і отримаємо
.
Це – загальний інтеграл рівняння у неявному вигляді. Звідси:
.
Частинний розв’язок знаходимо за допомогою початкової умови, підставляючи її о загального розв’язку:
; С= 2.
Тоді частинним розв’язком диференційного рівняння є
.
Приклад 2. Знайти частинний розв’язок диференційного рівняння при заданих початкових умовах
, .
Розв’язання. Дане рівняння є лінійним диференційним рівнянням першого порядку.
; ;
,
Накладемо на функцію v умову, щоб вираз у дужках дорівнював нулю, тобто
,
і знайдемо функцію v з отриманого диференційного рівняння.
,
Тепер функцію u знаходимо з рівняння
що утворюється в результаті підстановки v = x до початкового рівняння:
Оскільки y = uv, то загальним розв’язком рівняння є
Константу інтегрування С знаходимо з початкової умови:
.
Отже,
Приклад 3. Розв’яжіть задачу: знайти криву, яка проходить через точку М(0;1), якщо кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої дорівнює .
Розв’язання.
Як відомо, . Тому потрібно розв’язати задачу Коші:
, .
, .
Отже, шукана крива .
Рівняння вигляду називаються лінійними однорідними Д.Р. Його загальний розв’язок має вигляд , де лінійно незалежні частинні розв’язки рівняння. Розшукуємо їх у вигляді , де - корені характеристичного рівняння .
Розв’язок:
а) D>0 б) D=0, = –b/2
; ;
в) D<0, – комплексні числа.
.
Рівняння вигляду називається лінійним неоднорідним ДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами.
|
|
Для того, щоб знайти загальний розв’язок неоднорідного ДР, необхідно скористатися таким твердженням: загальний розв’язок такого ДР дорівнює сумі розв’язку відповідного однорідного ДР та якого-небудь частинного розв’язку неоднорідного ДР: , де – загальний розв’язок відповідного однорідного ДР, – частинний розв’язок неоднорідного ДР. Правила побудови наведені у таблиці.
степенева частина відсутня | при або при | |
показникова функція відсутня ( | показникова функція відсутня | |
лише лише і , і | і , і | |
тригонометричні функції відсутні ( | тригонометричні функції відсутні |
Приклад 1. Розв’язати задачу Коші: , , .
Розв’язання. Дане рівняння є лінійним однорідним ДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Складемо характеристичне рівняння
.
Дискримінант . Отже, рівняння має один дійсний корінь подвійної кратності. Тому загальний розв’язок ДР має вигляд
.
Для знаходження частинного розв’язку скористаємося початковими умовами. Для цього знайдемо :
.
. Отже, .
.
Отже, . Остаточно отримаємо .
Приклад 2. Знайти загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами
.
Розв'язання. . Відповідне лінійне однорідне , характеристичне рівняння , . Тоді загальний розв’язок лінійного однорідного ДР буде .
, . Так як – корінь кратності , то ,
, . . Звідси .
Тоді – загальний розв’язок шуканого рівняння.
Приклад 3. Вказати вигляд (без обчислень коефіцієнтів)частинний розв’язок ЛНДР ..
Розв'язання. . , , , .
ЧИСЛОВІ РЯДИ
Нехай нескінченна послідовність чисел. Вираз називається числовим рядом.
Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових сум , де , має кінцеву границю, тобто . Число називається сумою ряду.