Диференціальні рівняння

Диференціальним рівнянням (надалі, Д.Р.) називається рівняння, що містить похідні або диференціали невідомої функції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференціального рівняння.

Д.Р. вигляду N₁(y)M₁(x)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 називаються Д.Р. з відокремленими змінними.

Д.Р. називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді: .

Воно за допомогою заміни змінної Þ зводиться до Д.Р. з відокремлюваними змінними.

Д.Р. виду y’+P(x)y=Q(x) називається лінійним Д.Р. Його розв’язок розшукується у вигляді .

Приклад 1. Розв’язати задачу Коші (знайти загальний розв’язок диференційного рівняння і частинний розв’язок при заданих початкових умовах):

, .

Розв’язання. Запишемо рівняння у диференціалах:

Дане рівняння є рівнянням першого порядку з відокремлюваними змінними (тобто може бути зведене до вигляду, коли з одного боку знака рівності присутня тільки залежна змінна y, а з іншого – тільки незалежна змінна x, таку рівність можна про інтегрувати і отримати загальний інтеграл рівняння).

Виконаємо відокремлення змінних, для чого домножимо рівняння на , в результаті отримаємо рівняння з відокремленими змінними

Проінтегруємо отримане рівняння:

і отримаємо

Це – загальний інтеграл рівняння у неявному вигляді. Звідси:

Частинний розв’язок знаходимо за допомогою початкової умови, підставляючи її о загального розв’язку:

; С= 2.

Тоді частинним розв’язком диференційного рівняння є

Приклад 2. Знайти частинний розв’язок диференційного рівняння при заданих початкових умовах

, .

Розв’язання. Дане рівняння є лінійним диференційним рівнянням першого порядку.

; ;

Накладемо на функцію v умову, щоб вираз у дужках дорівнював нулю, тобто

і знайдемо функцію v з отриманого диференційного рівняння.

Тепер функцію u знаходимо з рівняння

що утворюється в результаті підстановки v = x до початкового рівняння:

Оскільки y = uv, то загальним розв’язком рівняння є

Константу інтегрування С знаходимо з початкової умови:

Отже,

Приклад 3. Розв’яжіть задачу: знайти криву, яка проходить через точку М(0;1), якщо кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої дорівнює .

Розв’язання.

Як відомо, . Тому потрібно розв’язати задачу Коші:

, .

Отже, шукана крива .

Рівняння вигляду називаються лінійними однорідними Д.Р. Його загальний розв’язок має вигляд , де лінійно незалежні частинні розв’язки рівняння. Розшукуємо їх у вигляді , де - корені характеристичного рівняння .

Розв’язок:

а) D>0 б) D=0, = –b/2

; ;

в) D<0, – комплексні числа.

Рівняння вигляду називається лінійним неоднорідним ДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

Для того, щоб знайти загальний розв’язок неоднорідного ДР, необхідно скористатися таким твердженням: загальний розв’язок такого ДР дорівнює сумі розв’язку відповідного однорідного ДР та якого-небудь частинного розв’язку неоднорідного ДР: , де – загальний розв’язок відповідного однорідного ДР, – частинний розв’язок неоднорідного ДР. Правила побудови наведені у таблиці.


степенева частина відсутня		при або при



показникова функція відсутня (	показникова функція відсутня
лише лише і , і	і , і
тригонометричні функції відсутні (	тригонометричні функції відсутні