2015-10-22
3261
О п р е д е л е н и е. Преобразование плоскостиназывается аффинным, если оно переводит прямую в прямую и сохраняет простое отношение любых трех коллинеарных точек.
Таким образом, любое подобие, в частности, любое движение, является примером аффинного преобразования.
По аналогии с движением можно доказать теорему о задании аффинного преобразования парой соответствующих аффинных реперов:
Т е о р е м а. Для пары аффинных реперов 
и 
существует единственное аффинное преобразование, которое репер 
переводит в репер 
. При этом аффинном преобразовании точке с заданными координатами в репере 
соответствует точка с теми же координатами в репере 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Отображение плоскости в себя, при котором каждой точке с указанными координатами в репере соответствует точка с теми же координатами в репере , является аффинным преобразованием плоскости, переводящим репер 
в 
(обосновать).
Далее самостоятельно покажите, что любое аффинное преобразование 
, также переводящее репер 
в 
, совпадает с заданным преобразованием.
|
|
|
С л е д с т в и е. Если аффинное преобразование имеет три неколлинеарные неподвижные точки, то это преобразование является тождественным.
Аналогично тому, как это было сделано для движений, можно вывести формулы аффинного преобразования:
.
Из определения аффинного преобразования и этих формул имеем свойства аффинных преобразований:
- Аффинное преобразование репер переводит в репер.
- Аффинное преобразование либо сохраняет, либо меняет ориентацию плоскости. Таким образом, имеем аффинные преобразования I и II рода.
- Приаффинном преобразовании прямая переходит в прямую, параллельные прямые в параллельные прямые, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, полуплоскость в полуплоскость.
