Подгруппа центроаффинных преобразований

Определение 4: центроаффинным преобразованием с центром S называется аффинное преобразование пространства , оставляющее неподвижной точку S.

Пусть , применим к этой точке формулы (1) из §8, учитывая, что :

Откуда выразим :

Подставив найденные значения снова в равенства (1) §8, получим формулы центроаффинного преобразования с центром S:

.

В частности, ели , то .

Композиция аффинных преобразований, оставляющих неподвижной точку S, есть аффинное преобразование, оставляющих неподвижной эту точку. Преобразование, обратное аффинному преобразованию, оставляющему точку S неподвижной, есть аффинное преобразование, также обладающие этими свойствами. Следовательно, центроаффинное преобразование с центром S образует группу, служащую еще одним примером подгруппы группы аффинных преобразований пространства .

Теорема 2: всякое аффинное преобразование пространства может быть представлено как композиция центроаффинного преобразования и параллельного переноса.

□ Из формул (1) §8 следует, что любое аффинное преобразование есть композиция центроаффинного преобразования

и параллельного переноса . ■