Перпендикулярность двух прямых, прямой и плоскости

Решение многих метрических задач связано с проведением перпендикулярных прямых и плоскостей и основывается на следующей теореме.

Теорема. Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то прямой угол на эту плоскость проекций проецируется в виде прямого же угла (рис. 74).

Рис. 74

Дано: ; .

Требуется доказать: А₁В₁С₁ = 90⁰.

Доказательство:

ВС АВ по условию, ВС ВВ₁ по построению (т.к. ВС П₁, а ВВ₁ П₁). Следовательно ВС плоскости Γ (АВ ∩ ВС).

ВС В₁С₁, поэтому В₁С₁ Γ.

Следовательно, В₁С₁ будет перпендикулярна прямой А₁В₁ = Γ П₁, т.е. А₁В₁С₁ = 90⁰.

Из доказанной теоремы вытекает следствие: если прямая n перпендикулярна плоскости Δ = h f, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости (n₁ h₁), а фронтальная проекция n₂ перпендикулярна фронтальной проекции f₂ фронтали этой плоскости. В самом деле, так как h П₁, а f П₂, то на основании предыдущей теоремы n₁ будет перпендикулярна h₁, а n₂ будет перпендикулярна f₂ (рис. 75).

Рис. 75

Задача. Найти расстояние от точки D до плоскости ΔАВС.

Решение задачи состоит из трех этапов:

1. На основании предыдущего следствия из точки D (D₁, D₂) проводим перпендикуляр n: n₁ h₁ и n₂ f₂ (рис. 76).

2. Строим точку К пересечения этого перпендикуляра с плоскостью АВС (первая основная позиционная задача).

3. Находим натуральную величину отрезка DK (D₁К₁, D₂К₂) способом прямоугольного треугольника.

Рис. 76