Прямоугольная аксонометрическая проекция и ее свойства

Спроецируем ортогонально все элементы натуральной системы координат OXYZ на плоскость П’ (рис. 86).

Рис. 86

Пусть координатные оси OX, OY, OZ пересекут плоскость П’ в точках А, В и С соответственно. Треугольник АВС называется треугольником следов.

Рассмотрим свойства прямоугольной аксонометрии.

1. Сумма квадратов показателей искажения равна двум:

k² + m² + n² = 2. (8)

Пусть (O’X’Y’Z’, е’_х, е’_у, е’_z) – прямоугольная аксонометрическая проекция натуральной системы координат OXYZ. Обозначим углы:

OX П’ = , OY П’ = , OZ П’ = ,

= OX OO’, = OY OO’, = OZ OO’.

Углы ’, ’, ’ называют направляющими углами. Из прямоугольных треугольников ОО’A, OO’B, OO’C следует, что , , .

Из курса аналитической геометрии известно, что сумма квадратов косинусов направляющих углов равна единице, т.е.:

. (9)

Подставив значения , , в выражение (9), получим:

или

, или

, откуда

. (10)

Но, так как , , , то k² + m² + n² = 2.

2. Аксонометрические оси являются высотами треугольника следов. Покажем, что ось O’Z’ стороне АВ: в самом деле, OZ плоскости XOY, следовательно, что O’Z’ XOY, но тогда O’Z’ AB. Аналогично доказывается, что O’X’ BC, O’Y’ AC.