Глоссарий по линейной алгебре

Алгебра – раздел математики, изучающий операции над элементами множеств произвольной природы, обобщающие обычные операции сложения и умножения чисел.

Верхне-треугольная матрица – квадратная матрица, у которой элементы, стоящие ниже главной диагонали, суть нули.

Вырожденная матрица – матрица, определитель которой равен нулю.

Главная диагональ матрицы – элементы матрицы, у которых номер строки совпадает с номером столбца.

Диагональная матрица – матрица, являющаяся одновременно и нижне- и верхне-треугольной.

Единичная матрица – квадратная матрица, у которой элементы главной диагонали равны

единице, а прочие элементы суть нули.

Квадратная матрица – матрица, у которой число строк и столбцов совпадает.

Комплексное число – число, представляющее собой сумму действительного числа и произведения мнимой единицы на другое действительное число.

Линейная комбинация векторов – вектор, представляющий собой сумму произведений каждого из исходных векторов на некоторое число.

Линейно зависимая система векторов – совокупность векторов, в которой хотя бы один из векторов является линейной комбинацией других векторов системы.

Линейно независимая система векторов – совокупность векторов, ни один из которых не является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Линейное векторное пространство – совокупность векторов одного размера, для которых введены операции сложения векторов и умножения векторов на число при условии выполнения некоторых аксиом.

Матрица – прямоугольная таблица чисел.

Матрица СЛАУ – матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, входящих в уравнения СЛАУ.

Матрица-столбец – матрица, состоящая из одного столбца.

Матрица-строка – матрица, состоящая из одной строки.

Матричное уравнение – уравнение, в котором в качестве неизвестного фигурирует матрица.

Минор элемента матрицы – определитель матрицы, полученной из исходной матрицы вычеркиванием строки и столбца, содержащих указанный элемент.

Мнимая единица – число, квадрат которого равен минус единице.

Невырожденная матрица – матрица, определитель которой отличен от нуля.

Неоднородная система линейных алгебраических уравнений - СЛАУ, у которой хотя бы один из свободных членов не равен нулю.

Неопределённая СЛАУ – СЛАУ, имеющая неединственное решение.

Несовместная СЛАУ – то же, что и неразрешимая СЛАУ.

Неразрешимая СЛАУ – СЛАУ, не имеющая решений.

Нижне-треугольная матрица – квадратная матрица, у которой элементы, стоящие выше главной диагонали, суть нули.

Нуль-матрица – матрица, все элементы которой суть нули.

Обратимая матрица – матрица, у которой существует обратная матрица.

Обратная матрица для некоторой матрицы – матрица, которая при перемножении с исходной матрицей дает единичную матрицу.

Общее решение СЛАУ – совокупность всех решений системы.

Однородная система линейных алгебраических уравнений - СЛАУ, у которой все свободные члены суть нули.

Определённая СЛАУ – СЛАУ, имеющая единственное решение.

Определитель матрицы – сумма произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком плюс или минус.

Ортогональные векторы – векторы, скалярное произведение которых равно нулю.

Приведённая матрица – матрица, у которой в каждой ненулевой строке существует хотя бы один ненулевой элемент, в столбце которого все элементы суть нули.

Приведённая СЛАУ – СЛАУ, у которой матрица системы приведенная.

Присоединённая матрица – матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов транспонированной исходной матрицы.

Равносильные СЛАУ – системы, у которых общие решения совпадают.

Размерность линейного векторного пространства - число, равное количеству компонент рассматриваемых векторов.

Разрешимая СЛАУ – СЛАУ, имеющая хотя бы одно решение.

Ранг матрицы – максимальное число линейно независимых строк матрицы.

Расширенная матрица СЛАУ – матрица СЛАУ, к которой добавлен столбец свободных членов уравнений системы.

Решение СЛАУ – набор значений неизвестных системы, обращающий все уравнения системы в числовые равенства.

Симметричная матрица – матрица, совпадающая со своей транспонированной.

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) – совокупность нескольких линейных алгебраических уравнений относительно одного набора неизвестных.

Скалярное произведение двух векторов – сумма произведений соответствующих координат этих векторов.

Собственный вектор матрицы – ненулевой вектор, который под действием матрицы переходит в вектор, коллинеарный самому себе.

Собственное значение матрицы – коэффициент пропорциональности между собственным вектором матрицы и произведением матрицы и этого собственного вектора.

Совместная СЛАУ – то же, что и разрешимая СЛАУ.

Транспонированная матрица – матрица, в которой по отношению к исходной матрице строки и столбцы поменяны местами.

Элементарные преобразования матриц – три следующие преобразования строк матрицы:

1) перемена местами двух строк матрицы;

2) умножение строки матрицы на число, отличное от нуля;

3) прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на произвольное число.

Элементарные преобразования СЛАУ – три следующие преобразования уравнений системы:

1) перемена местами двух уравнений системы;

2) умножение обеих частей одного из уравнений системы на число, отличное от нуля;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на произвольное число.