double arrow

Методы анализа линейных электрических цепей

Существуют следующие основные методы анализа простейших (с небольшим числом ветвей) цепей: метод наложения, метод эквивалентного источника, метод уравнений Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов.

3.7.1. Метод наложения

Метод наложения основан на принципе суперпозиции (справедлив лишь для линейных цепей): в линейной цепи реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие. При использовании в качестве воздействий источников тока или напряжения, а в качестве откликов - тока или напряжения в одной из ветвей, метод наложения можно сформулировать следующим образом: ток или напряжение в i-ой ветви равен алгебраической сумме токов или напряжений, создаваемых каждым источником в отдельности, при условии, что все остальные источники заменены своими внутренними сопротивлениями. Таким образом, о методу наложения каждый из токов может быть представлен в виде суммы токов от всех источников. Рассмотрим данный метод на примере следующей цепи.

где i11, i21, i31 частичные токи от источника Е1(вторая цифра указывает на источник); при этом источники тока I и напряжения Е2 заменены своими внутренними сопротивлениями R=∞ (разрыв цепи) и R=0 (короткое замыкание) соответственно; и так далее для других источников. Тогда можно найти эти частичные токи, используя закон Ома и три частные схемы замещения, учитывающие замены источников их внутренними сопротивлениями.

Так, для источника Е1:

; ; ;

где ; i11 – общий ток источника; используем закон Ома и правило делителя тока.

Для источника тока I:

; ;

;

где

При этом знаки i22 и i32 берутся со знаком «-«, так как направление источника I противоположно выбранному направлению этих токов.

Для источника Е2:

; ;

;

Объединив полученные результаты для частичных токов источников, можно получить искомые токи ветвей. Метод наложения является очень громоздким, поэтому его применение целесообразно, когда электрическое состояние цепи уже известно для заданных источников и необходимо проанализировать его при изменении ЭДС или тока одного из источников, т.е. тогда достаточно просчитать лишь частичные токи для этого источника. И, кроме того, этот метод не применим для расчета мощностей элементов, т.к. , а квадраты есть нелинейная зависимость.

3.7.2. Метод эквивалентного источника

Метод эквивалентного источника позволяет определить ток в одной из ветвей (или нагрузке) в соответствии с принципом компенсации, согласно которому любой пассивный участок цепи (ветвь или ее часть) может быть заменен источником ЭДС с тем же напряжением; а любая ветвь с известным током – источником тока с таким же значением. Таким образом, любую сложную активную электрическую цепь в произвольных точках подключения нагрузки a,b можно заменить простой схемой эквивалентного источника напряжения с параметрами (напряжение холостого хода), (внутреннее сопротивление) или эквивалентного источника тока с параметрами (ток короткого замыкания) и Rab.

Параметры эквивалентных источников определяются:

1. – напряжение в точках эквивалентного преобразования a и b при отключении нагрузки в этих точках, определяемое при нескольких источниках в цепи обычно по методу наложения;

. - ток в точках эквивалентного преобразования a и b при коротком замыкании, определяемый также по методу наложения;

3. - сопротивление цепи в точках a и b при условии замены всех источников их внутренними сопротивлениями.

При этом в соответствии с условием эквивалентности преобразования источников можно определить только одну из пар параметров: либо Uxx и , либо и .

Суть метода состоит в том, что к ветви, в которой необходимо определить ток или напряжение, в точках a и b подключается схема эквивалентного источника тока или напряжения с заранее определенными параметрами. Для нее используются правила делителей тока и напряжения, закон Ома. Пусть необходимо определить ток и напряжение в ветви 3 той же схемы.

1. Решение методом эквивалентного источника напряжения

Чтобы найти и , временно удалим . Для оставшейся схемы по методу наложения получим: = + + - как сумму частичных напряжений от каждого источника. Тогда:

Для источника Е1 по правилу делителя напряжения для последовательной схемы:

(16)

Для источника I по закону Ома для параллельной схемы:

(17)

Для источника Е2, поскольку в этой схеме ток через R1 и R2 не протекает:

(18)

Внутреннее сопротивление определится как:

(19)

Тогда, используя (16)-(19), из простой схемы с эквивалентным источником напряжения искомый ток по закону Ома можно определить как:

2. Решение методом эквивалентного источника тока

Сопротивление определится так же, как и в первом случае. Параметр по методу наложения можно определить как сумму частичных токов от всех источников:

= + + .

Тогда, используя те же схемы замещения для трех источников, получим:

; ; . (20)

Искомый ток, объединяя (19) и (20), определим по правилу делителя тока из простой схемы замещения с эквивалентным источником тока:

.

Таким образом, любую часть активной линейной цепи можно заменить эквивалентным источником ЭДС с = или источником тока с = и эквивалентным внутренним сопротивлением . Этот метод наиболее эффективен в сравнении с другими в случае, когда необходимо провести не общий, а частичный анализ цепи, связанный с определением тока в одной из ветвей при изменении её ЭДС и/или сопротивления.

3.7.3. Метод уравнений Кирхгофа

Для электрических цепей с большим число ветвей применение методов наложения и эквивалентных источников становится неэффективным. Универсальным методом анализа является использование законов Кирхгофа.

1-й закон Кирхгофа устанавливает взаимосвязь токов для любого узла. И поскольку в любой электрической цепи, состоящей из p- ветвей и q- узлов, число независимых узлов m=q-1, то число линейно независимых уравнений, составленных по 1-му закону Кирхгофа, также равно m.

2-ой закон Кирхгофа устанавливает взаимосвязь напряжений в любом контуре цепи. Число независимых контуров n=p–m будет определять число линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Тогда общее число линейно независимых уравнений, составленных по двум законам Кирхгофа: p= m + n, то есть соответствует общему числу неизвестных токов во всех ветвях. При этом направления токов в ветвях и обхода контуров выбираются произвольно. Так, для мостовой схемы типа «конверт»: p = 6; q = 4; m = q – 1 = 3; n = p – m = 3; получим две системы уравнений:

(21)

По закону Ома для любой к -ветви:

Uk = ikRk. Подставляя эти соотношения в (21), получим 6 уравнений для токов, решив которые, можно определить токи и напряжения во всех ветвях. Так как решение системы из шести уравнений достаточно трудоемко, такие задачи удобнее выполнять на ЭВМ. Для этого полученное уравнение форматируют, то есть приводят к матричной форме.

Составим редуцированную матрицу соединений для узлов 1-3:

Тогда система уравнений (21) для токов в матричной форме примет вид:

.

При этом наличие в активной линейной цепи источников тока учитывается как отдельные ветви в редуцированной матрице соединений и дополнительные строки в матрице-столбце токов.

Перепишем уравнения для напряжений в контурах из (21) в виде:

.

Для этой системы, аналогично редуцированной матрице соединений, можно записать матрицу контуров N, состоящей из n -строк по числу независимых контуров и p - столбцов по количеству ветвей; при этом на пересечении i- ой строки и j- го столбца будут находиться:

+1, если направление тока в j -ой ветви i -го контура совпадает с направлением обхода;

-1, если направления противоположны;

0, если j- я ветвь в этот контур не входит.

Если в j -ой ветви имеется источник ЭДС, то напряжение этой ветви:

, причем знак «-» ставится при совпадении направлений ЭДС источника и падения напряжения ветви, а знак «+» при противоположных направлениях. Так, в данной схеме: для 1-го контура ; для 2-го контура . Тогда редуцированная матрица контуров и соответствующая система уравнений будут иметь вид:

; .

3.7.4. Метод контурных токов

Использует n = p – m уравнений по числу независимых контуров (т.е. каждый из них должен содержать хотя бы одну ветвь, не входящую в остальные). Уравнения составляются только по 2-му закону Кирхгофа для контурных токов. Наличие в цепи идеальных источников тока (ИИТ) упрощает задачу анализа, так как сокращается число необходимых уравнений, поскольку ток ИИТ сразу определяет соответствующий контурный ток. ИИТ должен входить только в один из независимых контуров. При наличии в схеме реальных источников тока (РИТ) необходимо либо:

1. Заменить РИТàРИН ;

2. Рассматривать РИТ как отдельный контур с ИИТ, контурный ток которого определяется током источника.

Метод контурных токов использует следующие основные понятия:

  • Контурный ток - условный ток произвольного направления, протекающий в каждом независимом контуре ;
  • Собственное сопротивление контура - алгебраическая сумма сопротивлений всех элементов контура ;
  • Взаимное сопротивление смежных контуров - сопротивление общего для двух контуров элемента , i,j - номера смежных контуров, причем Rij = Rji; берется со знаком «+», если направления контурных токов совпадают на общем элементе, и с «-«, если противоположны;
  • Контурная ЭДС - алгебраическая сумма всех ЭДС каждого независимого контура ; берется со знаком «+», если ее направление совпадает с направлением контурного тока.

Алгоритм метода контурных токов состоит из четырех основных этапов:

1. Выбор n- независимых контуров, произвольное обозначение направления контурных токов и токов ветвей; при этом ИИТ должны входить только в один какой-либо контур, поскольку они определяют величину контурного тока.

2. Запись системы стандартизованных линейных уравнений для всех независимых контуров, нахождение собственных и взаимных сопротивлений и контурных ЭДС для данной системы.

3. Решение системы в матричной форме или по методу Крамера относительно контурных токов.

4. Определение токов в ветвях по методу наложения полученных значений контурных токов.

Рассмотрим этот алгоритм на примере данной схемы, произвольно выбирая направления контурных токов и токов в ветвях.

1. В схеме 4 независимых контура, причем Ik4 = I (или можно было заменить РИТ на РИН с E = IR2).

2. Для трех оставшихся независимых контуров получим следующую систему уравнений:

где R11 = R1+R3+R6; R22 = R2+R3+R4; R33 = R4+R5+R6;

R12=R21= - R3; R14=0; R23=R32= - R4; R24=R2; R13=R31= - R6; R34=0.

3. Полученные значения сопротивлений и ЭДС необходимо подставить в исходную систему уравнений и решить ее матричными или другими известными способами. Для этого необходимо последнее слагаемое из левой части перенести в правую:

Тогда решение в матричной форме: ;

где ; i=1,…,n; ∆ - определитель матрицы [R]; ∆I – определитель, в котором вместо i -го столбца стоит матрица-столбец [E].

4. Токи ветвей: i1 = Ik1; ; ; ; ; .

Таким образом, для внешних ветвей значения токов совпадают с контурными; для смежных – равны разности контурных токов соответствующих контуров.

3.7.5. Метод узловых потенциалов (напряжений)

Метод узловых потенциалов использует m=q-1 линейно независимых уравнений по числу независимых узлов. Он основан на первом законе Кирхгофа. В качестве неизвестных выступают потенциалы узлов, по которым при помощи закона Ома находят токи ветвей. Наличие в цепи идеального источника напряжения упрощает задачу анализа, так как сокращает количество необходимых уравнений, поскольку идеальный источник напряжения определяет (с учетом направления) узловое напряжение узла, к которому он подключен. При наличии в схеме реальных источников напряжения (РИН) их необходимо заменить эквивалентными реальными источниками тока (РИТ), используя (15).

МУП (МУН) использует следующие основные понятия:

  • Опорный узел – это узел, который заземляется, т.е. его потенциал . В качестве опорного следует выбирать узел, к которому примыкает наибольшее количество ветвей или подключен идеальный источник напряжения;
  • Узловое напряжение – напряжение данного узла относительно опорного, обозначается и всегда направлено к опорному узлу;
  • Собственная проводимость узла – алгебраическая сумма проводимостей ветвей, подключенных к данному узлу ;
  • Взаимная проводимость между смежными узлами – это проводимость ветви между двумя смежными узлами ; всегда берется со знаком «-»;
  • Узловой ток – алгебраическая сумма токов всех источников тока, подключенных к данному узлу: ; при суммировании берется со знаком «+», если ток направлен к узлу, и «-», если ток направлен от узла.

Алгоритм метода узловых потенциалов состоит из четырех основных этапов:

1. Выбор опорного узла; обозначение направлений узловых напряжений и токов в ветвях. При наличии РИН будем заменять их эквивалентными РИТ.

2. Запись системы линейных уравнений в общем виде; нахождение всех коэффициентов: собственных и взаимных проводимостей и узловых токов.

3. Решение полученной системы и нахождение узловых напряжений.

4. Определение токов в ветвях через узловые напряжения по закону Ома.

Рассмотрим данный метод на примере той же схемы:

1. РИН → РИТ: - эквивалентная замена ЭДС источником тока. В качестве опорного выбираем узел 1, так как к нему примыкает наибольшее число ветвей. Остальные узловые напряжения направляем к опорному узлу.

2. Система стандартизованных уравнений для этой схемы будет иметь вид:

;

где ;

; ;

; ;

.

3. Решение системы уравнений, определение - узловых напряжений.

4. Определяем токи в ветвях по закону Ома:

; ; ; ; ; .

Выбор того или иного метода определяется поставленными задачами и порядком получаемой для их решения системы уравнений. Так, при одинаковом количестве уравнений МКТ предпочтительнее, т.к. не требует дополнительного использования закона Ома. МУП (МУН) удобен при расчетах многофазных цепей, но не эффективен при расчете цепей с взаимной индуктивностью.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: