Задачи контрольной работы

1 2

Задача 1. Вычислить определитель.

Задача 2. Даны матрицы и . Найти матрицу .

Задача 3. Найти произведение матриц . Существует ли произведение ? Почему?

Задача 4. Найти обратную матрицу для матрицы . Сделать проверку.

Задача 5. Решить матричное уравнение.

Задача 6. Найти ранг матрицы.

Задача 7. Решить систему линейных уравнений: по формулам Крамера; с помощью обратной матрицы; методом Гаусса.

Задача 8. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для системы уравнений.

Задача 9. Написать разложение вектора по векторам , и .

Задача 10- 16. Условия приведены в задании.

ВАРИАНТ 1

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. , , и

10. Вычислить проекцию вектора на направление вектора ,

где ; .

11. Векторы и образуют угол в , , . Найти длину вектора , если .

12. Лежат ли точки , , и в одной плоскости?

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин

и уравнения двух высот: и .

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку .

15. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно к вектору и пересекает прямую .

16. Принадлежит ли прямая плоскости ?

ВАРИАНТ 2

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. , , и

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и

11. Сила приложена к точке . Определить момент этой силы относительно точки .

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы ,

и ?

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину ,

а также уравнения высоты и медианы ,

проведенных из различных вершин.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и

отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.

15. Составить каноническое уравнение прямой, лежащей в плоскости ,

проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой

16. Найти угол между прямой и плоскостью, проходящей через точки , , .

ВАРИАНТ 3

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. , , и

10. При каком t векторы и будут взаимно перпендикулярны?

11. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и

, если , угол между векторами и равен .

12. Компланарны ли векторы , и ?

13. Через точку пересечения прямых и провести

прямую, которая, кроме того, 1) проходит через начало координат;

2) параллельна оси абсцисс; 3) параллельна оси ординат;

4) проходит через точку .

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и

N(2; 1; 1) параллельно вектору (3; 0; 1).

15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (3; -2; 0) перпендикулярно к прямой и расположенной в плоскости .

16. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения

плоскости с прямыми и

ВАРИАНТ 4

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={11; 5; -3}, ={1; 0; 2}, ={-1; 0; 1} и {2; 5; -3}

10. Доказать,что точки А(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) являются

вершинами прямоугольника. Вычислить длину его диагоналей.

11. Вычислить площадь треугольника ABC, вершины которого лежат в точках

А(2; 3; 4), B(4; 3; 2), и C(1; 1; 1).

12. При каком значении точки А(1; 0; 3), B(-1; 3; 4), C(1; 2; 1), и D(; 2; 5) лежат в одной плоскости?

13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

и и через точку A(2; 1).

14. Даны координаты вершин тетраэдра А(2; 0; 0), B(5; 3; 0), C(0; 1; 1),

D(-2; -4; 1). Найти двугранный угол между гранями ABC и ABD.

15. При каком значении прямые и

параллельны?

16. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4; 0; -1) и

пересекающей две данные прямые и .

ВАРИАНТ 5

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={13; 2; 7}, ={5; 1; 0}, ={2; -1; 3} и ={1; 0; -1}

10. В прямоугольном треугольнике АВС углы при вершинах А и С равны и , а длина гипотенузы равна 2. Вычислить

11. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам ={0; -1; 2} и

={1; 3; 3} и удовлетворяет условию .

12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5),

C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

13. Вычислить координаты вершины ромба, если известны уравнения двух его

сторон: x + 2y = 4 и x + 2y = 10, и уравнение одной из его диагоналей:

y = x + 2.

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 1; 1) и N(-1; 1;-1)

параллельно прямой, определяемой точками А(5; -2; 3) и В(6; 1; 0).

15. При каком значении D прямая проходит через начало координат?

16. Найти точку, симметричную точке А(3; -1; 4) относительно прямой

ВАРИАНТ 6

1. 2. , ,

3. , 4.

6. 7. 8.

9. ={2; 7; 5}, ={1; 0; 1}, ={1; -2; 0} и ={0; 3; 1}

10. Даны точки А(0; -3; 4), В(2; 5; -1) и С(-4; 2; -2). Вычислить скалярное

произведение векторов и

11. Найти длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины С на

сторону АВ, если A(2; 3; 4), B(4; 3; 2) и C(1; 1; 1).

12. Какую тройку (правую или левую) образуют векторы ,

и ?

13. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана

вершина прямого угла С(3; -1) и уравнение гипотенузы 3x – y + 2 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры,

опущенные из точки А(2; 0; 1) на плоскости x – 3y +2z = 0 и 2x – y + 2z = 0.

15. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

М(2; 1; 3), параллельно прямой x = 3+t, y = 3t, z = 2-t.

16. Найти угол между прямой, проходящей через точки А(-1; 0; -5) и В(1; 2; 0),

и плоскостью x – 3y + z + 5 = 0.

ВАРИАНТ 7

1
. 2. , ,

3. , 4.

6. 7. 8.

9. ={-9; 5; 5}, ={4; 1; 1}, ={2; 0; -3} и ={-1; 2; 1}

10. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0)

и С(3; -2; 1). Определить его внешний угол при вершине В.

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

12. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах

, , , где и - взаимно перпендикулярные орты.

13. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2x – y + 5 = 0 и

x – 2y + 4 = 0, диагонали его пересекаются в точке М(1; 4). Найти уравнение

сторон CD и AD.

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -3; 1) параллельно векторам и .

15. Даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(2; 1; 3), С(0; -1; 1). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

16. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки А(-1; 3; 2) на плоскость

2x – y + z + 3 = 0.

ВАРИАНТ 8

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={-5; -5; 5}, ={-2; 0; 1}, ={1; 3; -1} и ={0; 4; 1}

10. Найти координаты вектора , коллинеарного вектору ={3; -4; 0}, если известно, что вектор образует с осью тупой угол и =10.

11. ={3; 1; -1}, ={-2; 1; 4}. Вычислить .

12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5),

C(6; 2; 3) и D(3; 7; 2).

13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения

прямых 2x + y + 6 = 0 и 3x + 5y – 15 = 0 и через точку N(1; -2).

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 5; 3) параллельно

плоскости x + 2y - 3z + 2= 0.

15. При каком значении прямые и

перпендикулярны?

16. Проверить, что прямые и пересекаются.

Найти уравнение плоскости, в которой они лежат.

ВАРИАНТ 9

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={13; 2; 7}, ={5; 1; 0}, ={2; -1; 3} и ={1; 0; -1}

10. По координатам вершин треугольника АВС A(1; 1; -1), B(2; 4; -1) и

C(8; 3; -1) выяснить, является ли он прямоугольным, остроугольным или тупоугольным.

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

12. При каком m векторы , и

компланарны?

13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x + 2y = 12, уравнение

высоты BM: x + 2y = 4, уравнение высоты АМ: 4x + y = 6, где М - точка

пересечения высот. Написать уравнения сторон АС и ВС.

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; 3; -1) и В (1; 5; 3)

перпендикулярно плоскости 3x – y + 3z + 15 = 0.

15. Через точку М(2; -1; 3) провести прямую, параллельную прямой

16. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку

М(3; -2; -4) параллельно плоскости 3x – 2y – 5z – 7=0 и пересекает прямую

ВАРИАНТ 10

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={-19; -1; 7}, ={0; 1; 1}, ={-2; 0; 1} и ={3; 1; 0}

10. Проверить будет ли треугольник АВС (A(1; 2; 3), B(7; 10; 3), C(-1; 3; 1)) прямоугольным?

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

12. Найти объем параллелепипеда с вершинами в точках A(2; 2; 2), B(4; 3;3),

C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).

13. Дано уравнение 3x + 4y – 12 = 0 стороны АВ параллелограмма ABCD,

уравнение x + 12y - 12 = 0 диагонали АС и середина Е стороны ВС.

Найти уравнения сторон ВС, СD и AD.

14. Cоставить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; -3; 5) перпендикулярно линии пересечения плоскостей 2x + y - 2z + 1 = 0 и

x + y + z –5 = 0.

15. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую

16. При каком значении плоскость 5x – 3y + z + 1 = 0 будет параллельна

прямой ?

ВАРИАНТ 11

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={3; -3; 4}, ={1; 0; 2}, ={0; 1; 1} и ={2; -1; 4}

10. Найти работу силы ={4; -1; 1} на перемещении ={5; 3; -2}.

11. Вычислить координаты вектора , перпендикулярного векторам

и и образующего тупой угол с осью , если

12. Доказать, что точки A(1; -2; 2), B(1; 4; 0), C(-4; 1; 1) и D(-5; -5; 3) лежат в одной плоскости.

13. Даны уравнения сторон параллелограмма ABCD: AB: 3x + 4y - 12 = 0,

AD: 5x - 12y - 6 = 0 и середина Е(-2; 1) стороны BC. Найти уравнения двух

других сторон параллелограмма.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

(1; 2; 0), (2; 1; 1), (3; 0; 1).

15. Через точку А(0; -2; 1) провести прямую так, чтобы она пересекала две данные прямые и

16. Найти расстояние от точки А(2; 3; -1) до прямой .

ВАРИАНТ 12

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={8; 0; 5}, ={2; 0; 1}, ={1; 1; 0} и ={4; 1; 2}

10. Найти скалярное произведение векторов и , если

и .

11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и

, если , а угол между векторами и равен .

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы ,

, ?

13. Даны вершины треугольника А(2; 1), B(-1; -1), C(3; 2). Составить уравнение высоты, опущенной на сторону ВС, и медианы, проведенной к стороне АС.

14. Плоскость проходит через ось и составляет с плоскостью

2x + y - z = 0 угол . Найти её уравнение.

15. Пересекаются или нет прямые и ?

16. Найти проекцию точки М(0; 1; 2) на прямую .

ВАРИАНТ 13

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={3; 1; 8}, ={0; 1; 3}, ={1; 2; -1} и ={2; 0; -1}

10. Найти угол между векторами и , если и

11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

{2; -1; 5} и {2; 3; 6} как на сторонах.

12. Проверить, компланарны ли векторы , ,

13. Найти проекцию точки М(1; 1) на прямую .

14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через

точки А(-1; 2; 1) и В(3; 0; 2).

15. Проверить, пересекаются ли прямые и

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

, перпендикулярно плоскости 3x + y – 2z + 5 = 0.

ВАРИАНТ 14

1. 2. , , C=2A-3B

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={8; 1; 12}, ={1; 2; -1}, ={3; 0; 2} и ={-1; 1; 1}

10. Даны векторы и . При каком векторы

и перпендикулярны?

11. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках А(2; 2; 2),

B(4; 0; 3) и C(0; 1; 0).

12. Проверить будут ли компланарны векторы , и ?

13. Найти точку N, симметричную точке М(0; -3) относительно прямой

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку

M(2; -1; 3).

15. Даны вершины треугольника А(1; 0; 2), B(-2; 3; -1), C(3; -2; 4). Составить уравнение медианы из вершины В на сторону АС.

16. Через прямую x = 2t + 1, y = -t + 2, z = 3t – 2 провести плоскость параллельную прямой .

ВАРИАНТ 15

1. 2. , ,

3. , 4.

6. 7. 8.

9. ={-9; -8; -3}, ={1; 4; 1}, ={-3; 2; 0} и ={1; -1; 2}

10. Найти скалярное произведение векторов и , если

, .

11. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и

и удовлетворяет условию .

12. Заданы точки А(1; 2; -2), B(3; 2; -1), C(0; 1; -2) и D(3; 2; 3). Найти объем тетраэдра АBCD.

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину С(1; 2), а так-

же уравнения высоты x – 2y + 1 = 0 и медианы 4x + y + 2 = 0, проведенных

из одной вершины.

14. Из точки Р(2; -1; 3) опущен на плоскость перпендикуляр, его основание

М(1; 2; 4). Найти уравнение плоскости.

15. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку А(1; -5; 3) и

образует с осями координат углы, соответственно равные , , .

16. Найдите точку В, симметричную точке А(2; 0; 1) относительно прямой

ВАРИАНТ 16

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={-5; 9; -13}, ={0; 1; -2}, ={3; -1; 1} и ={4; 1; 0}

10. Векторы и образуют угол . Найти длину вектора , если

, .

11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и

, если , а угол между векторами и равен .

12. Компланарны ли векторы ?

13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x – 4y + 5 = 0, уравнение высоты АМ: x + 2y – 10 = 0 и высоты BN: 2x – 3y + 4 = 0.

Составить уравнения двух других сторон треугольника.

14. Через линию пересечения плоскостей 4x – y + 3z – 1 = 0 и x + 5y – z +2 = 0 провести плоскость, проходящую через точку M(1; 1; 1).

15. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(-1; 0; 3) на прямую .

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

и перпендикулярной к плоскости 2x + 3y – z = 4.

ВАРИАНТ 17

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={3; 3; -1}, ={3; 1; 0}, ={-1; 2; 1} и ={-1; 0; 2}

10. Найти при каком векторы и будут взаимно перпендикулярны, если , .

11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

и как на сторонах.

12. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A(1; 3; 6), B(2; 2; 1),

C(-1; 0; 1), D(-4; 6; -3).

13. Найти уравнения прямых, проходящих через точку М(-1; 2) под углом

к прямой x – 2y + 3 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и

перпендикулярной к двум плоскостям: 2x – y + 5z + 3 = 0 и x + 3y – z – 7 = 0.

15. Даны точки пересечения прямой с двумя координатными плоскостями и . Вычислить координаты точки пересечения этой же прямой с третьей координатной плоскостью.