2015-10-22
4266
МАТЕМАТИКА
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
(типовой расчет)
Методические указания и контрольные задания
для самостоятельной работы студентов
горных специальностей очной формы обучения
Составитель М. К. Курчин
Утверждено на заседании кафедры
Протокол № 9 от 08.04.2009
Рекомендовано к печати
учебно-методической комиссией
специальности 130403
Протокол № 10 от 27.04.2009
Электронная копия хранится
в библиотеке главного корпуса
ГУ КузГТУ
Данная работа служит качественному выполнению типового расчета студентами первого курса в первом учебном семестре по темам «линейной алгебры» и «аналитической геометрии». В качестве основного учебника рекомендуется «Курчин М. К. Алгебра и геометрия для инженеров: Учеб. пособие / ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2004. – 158с.» Именно, по этому учебнику указаны в приводимых решениях задач параграфы для самостоятельной работы. Методические указания содержат пример выполнения типового расчета (из шести задач) и контрольные задания в количестве 36 вариантов. В конце методических указаний приведены ответы ко всем задачам.
|
|
|
Пример выполнения типового расчета
Задача 1. Решить систему 
а) методом последовательного исключения неизвестных;
б) методом определителей; в) матричным методом.
Решение. а) Нам следует (§1) выписать матрицу из коэффициентов системы, присоединить к ней столбец из свободных членов, для удобства отделенный вертикальной чертой, и все преобразования выполнять над строками этой расширенной матрицы.
Подвергнем преобразованиям расширенную матрицу этой системы: 
. Дальнейшие преобразования расширенной матрицы не требуются.
Мы приходим, следовательно, к системе уравнений
или 
обладающей единственным решением х = –1, y = -2, z = 1.
Исходная система оказалась определенной.
б). Для нашей системы (§5 и §6) вычисляем все нужные определители. Здесь:
,
,
,
,
Теперь находим 
.
в) Матрица из коэффициентов при неизвестных будет:
. Ее определитель D = | А | = 2, поэтому обратная матрица А -1 существует (§44 и §45), причем
Матрица-столбец из свободных членов уравнений системы будет: 
. Решением системы будет матрица:
, т. е. 
|
Задача 2. Вершины треугольника находятся в точках A (–5; 1; 3), B (–5; 4; 7) и C (5; –4; –7). Найти координаты центра тяжести треугольника, величину угла А и направляющие косинусы биссектрисы этого угла.
Решение. Для того чтобы найти координаты точки F – центр тяжести треугольника, заметим, что она делит медиану BD в отношении 2:1, считая от вершины B, а точка D делит сторону AD пополам (§§7-15). Найдем координаты точки D, для чего воспользуемся формулами деления отрезка пополам:
Итак, 
и точка F делит отрезок BD в отношении
|
|
|
.
Находим координаты точки F:
А центр тяжести треугольника находится в точке 
Для того чтобы найти величину угла А, укажем векторы (рис.1)
и 
(из координат конца вычитаем координаты начала) и найдем их длины:
Тогда 
,
а сам угол А будет равен»37,17 градусам.
Направляющие косинусы биссектрисы угла А можно найти двумя способами. Рассмотрим их.
1 способ. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. На основании этого, заключаем, что точка K делит отрезок СВ в отношении 
Находим координаты точки K:
|
так, 
и вектор биссектрисы
Его длина 
Тогда 
2 способ. По направлениям векторов 
рассмотрим единичные векторы
и 
.
Если сложить эти векторы, то параллелограмм AMLN будет являться в то же время и ромбом, а его диагональ AL будет биссектрисой угла А. Следовательно, 
Найдем длину этого вектора: 
Тогда 
Задача 3. Вычислить расстояние от точки K (2; –1; –2) до плоскости Р, проходящей через точку M 1(3; –3; –5) и прямую 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
Решение. Заданная прямая проходит через точку M 0(6; 1; 2) параллельно вектору 
= {6; 8; –5} (§27, задача 4). Найдем вектор 
={–3; –4; –7}. Нормальный вектор 
плоскости Р перпендикулярен векторам и , так что в качестве нормального вектора можно взять векторное произведение векторов и .
|
.
Нам удобнее взять за вектор , вектор в –19 раз короче, т. е. = {4; –3; 0}. Теперь запишем уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 перпендикулярно вектору :
4(x – 3) – 3(y + 3) = 0, P: 4 x – 3 y – 21 = 0.
Остается вычислить расстояние точки K от плоскости Р:
.
И записать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки K на плоскость Р:
.
Задача 4. Даны уравнения х – 2 у – 1 = 0, х + 3 у – 6 = 0 и 3 х – у + 2 = 0 двух сторон треугольника и медианы. Составить уравнения третьей стороны треугольника и его высоты, опущенной на эту сторону.
Решение. Пусть уравнения сторон
AB: х – 2 у – 1 = 0 и BC: х + 3 у – 6 = 0.
Находим (§28) координаты вершины B: 
B (3; 1).
Координаты вершины B уравнению медианы не удовлетворяют: 3·3 – 1 – 6 ¹ 0. Пусть медиана проведена из вершины A к стороне BC. Найдем координаты вершины
|
A: 
A (–1; –1).
Найдем теперь координаты точки K пересечения медианы AK со стороной BC:
K: 
K (0; 2).
Точка C делит отрезок BK внешним образом в отношении 
.
Следовательно, 
C (–3; 3).
Вектор 
, а уравнение стороны AC, как проходящей через точку A, параллельно вектору 
, запишется:
или 2 x + y + 3 = 0.
Высота BH проходит через вершину B и в качестве нормального вектора можно взять вектор . Тогда ее уравнение запишется:
–2(x – 3) + 4(y – 1) = 0 или x – 2 y – 1 = 0.
Задача 5. Через точку В (8; -3 ) провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и осями координат, была равна одной квадратной единице.
Решение. Уравнение прямой возьмем в виде уравнения прямой в отрезках 
, где а и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях (§28).
|
Задача имеет 2 решения. Одна прямая L 1 пересекает первый координатный угол, для которого a > 0, b > 0 и ab > 0. Другая прямая L 2 пересекает третий координатный угол, для которого a < 0, b < 0 и ab > 0.
Площадь треугольника 
а так как у нас в любом случае
то 
и 
.
К тому же искомая прямая проходит через точку В и координаты последней удовлетворяют уравнению прямой.
Таким образом, по условию задачи имеем систему 
Решаем эту систему:
или 
Решением этой системы будут две пары значений:
и 
Следовательно, искомые прямые имеют уравнения:
        `
   • |
или x + 2 y – 2 = 0;
или 9 x + 32 y – 24 = 0.
Ответ: х + 2 у -2 = 0; 9 х +32 у –24 = 0.
|
|
|
Задача 6. Из точки B (4; 0) направлен луч под углом arctg 
к прямой x – 2 y + 6 = 0. Найти уравнение луча, отраженного от этой прямой.
Решение. 1). Пусть падающий луч направлен по прямой BA, так что угол BAC равен φ = arctg . Нормальный вектор заданной прямой x – 2 y + 6 = 0 будет 
и вектор 
, нормальный вектор падающего луча – прямой BA, получается поворотом вектора против часовой стрелки на угол φ. Воспользуемся формулами вычисления координат вектора, получающегося путем поворота против часовой стрелки данного вектора на некоторый угол (§20):
(1)
В качестве вектора можно взять растянутый вектор , т. е. 
. Формулы (1) тогда примут вид:
или с данными задачи 
Чтобы координаты вектора задавались целыми числами, возьмем вектор 
.
Найдем уравнение прямой AB, проходящей через точку B и имеющей нормальный вектор (§28):
4(x – 4) –3(y –0) = 0 или 4 x – 3 y = 16.
Находим координаты точки A: 
Для отраженного луча нормальный вектор 
может быть получен поворотом вектора на тот же угол φ, но теперь по часовой стрелке. Заменяя в формулах вычисления координат преобразованного вектора угол φ на угол –φ, получим систему:
или с данными задачи 
Чтобы координаты вектора задавались целыми числами, возьмем вектор 
. Тогда уравнение отраженного луча запишется:
0(x – 10) – 5(y – 8) = 0 или y = 8.
2). Пусть теперь падающий луч направлен по прямой BC, так что угол BCA равен φ = arctg . Нормальный вектор заданной прямой x – 2 y + 6 = 0 будет и вектор , нормальный вектор падающего луча – прямой BC, получается поворотом вектора против часовой стрелки на угол π – φ, что равносильно – с точностью до выбора направления – повороту вектора по часовой стрелке на угол φ. Но это и будет как раз вектор . Уравнение падающего луча BC запишется: 0(x – 4) – 5(y – 0) = 0 или y = 0. Тогда С (–6; 0) и для отраженного луча нормальный вектор будет . Наконец, уравнение отраженного луча запишется: 4(x + 6) – 3(y – 0) = 0 или 4 x – 3 y + 24 = 0.
Ответ: 1) y = 8; 2) 4 x – 3 y + 24 = 0.
1. Линейная алгебра.
Решить систему линейных уравнений а) методом последовательного исключения неизвестных; б) методом определителей; в) матричным методом.
|
|
|
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
2. Векторная алгебра.
Вершины треугольника находятся в точках А, В и С. Найти координаты центра тяжести треугольника, направляющие косинусы биссектрисы угла А и величину этого угла.
| вариант | ||||||
| A | –4;–2;–4 | –4; 2; –2 | –1; 2; –8 | –6; 3; –2 | –8; 2; –4 | –3; –2; –2 |
| B | –3; 2; 4 | 4; –6; 2 | –3; –6; 8 | –6; 6; 2 | –7; 6; 4 | 4; 2; 2 |
| C | 4; 2; 4 | –2; 6; 2 | 3; 6; –1 | 6; –6; –2 | 8; –6; –2 | –1; 2; 2 |
| вариант | ||||||
| A | 2; –1; –1 | –5; 3; –2 | 7; 2; 0 | –1; 3; –5 | –8; 2; –3 | 5; –6; –4 |
| B | 1; –3; –3 | 6; –7; –4 | –7; –6; –8 | 1; 7; –1 | –4; 6; 4 | –5; 5; –6 |
| C | –2; 3; –3 | –2; 9; 4 | 8; 6; 8 | 1; –7; 6 | 8; –6; –5 | 5; 0; 4 |
| вариант | ||||||
| A | 4; –1; 4 | –6; –4; 2 | –2; 1; –1 | 6; –3; –4 | 4; 5; 0 | 3; –2; –1 |
| B | –4;–3;–12 | –8; 0; 6 | 2; –3; 1 | –10;–5; 4 | 5; 9; 8 | 5; 2; 3 |
| C | 5; 3; 12 | 8; 4; –6 | –1; 3; 1 | 10; 5; 4 | –4;–9;–8 | –5; 2; –2 |
| вариант | ||||||
| A | 5; 2; 1 | –6;–6;–3 | 1; –8; –4 | –6; 1; –2 | –1;–4;–8 | –7;–4;–3 |
| B | –9;–6;–7 | –3; 0; 3 | –1; 8; 4 | –4; 5; 2 | 1; 4; 8 | –3; 4; 5 |
| C | 9; 6; 8 | 6; 6; 3 | 2; –4; 4 | 6; –5; 2 | 0;–2;–6 | 7; 4; 5 |
| вариант | ||||||
| A | 4; 2; –7 | –1;–4;–8 | 0;–3;–4 | 5; –1; 4 | –1; –8; 1 | 3; –3; 1 |
| B | 5; 6; 1 | 1; 4; 8 | 3; –3; 0 | 6; 1; 6 | –3; 8; –7 | 7; 5; 9 |
| C | –4; –6; 7 | 1; 0; –4 | 0; 3; 4 | –6; 1; –6 | 3; –4; 8 | –7;–5;–10 |
| вариант | ||||||
| A | –5;–6;–4 | –1; 4; 3 | 4; –8; –4 | 3; 1; –2 | –2; 2; –6 | –8;–1;–4 |
| B | 4; 6; –4 | 1; –7; –7 | 5; –4; 4 | –4; –3; 2 | 2; 6; 1 | –7; 3; 4 |
| C | –4; –2; 4 | –1; 7; 7 | –4; 8; –2 | 4; 3; 0 | –2; –7; 6 | 8; –3; 4 |
3. Плоскость и прямая в пространстве.
1. Вычислить расстояние от точки K (–5; 3; –2) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(3; 2; 4) параллельно вектору 
и перпендикулярно плоскости 4 x + y – 3 z – 7 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
2. Вычислить расстояние от точки K (1; –1; 4) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(–2; –5; 3) перпендикулярно прямой 
и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
3. Вычислить расстояние от точки K (–3; 0; 1) до плоскости Р, проходящей через прямую 
параллельно вектору 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
4. Вычислить расстояние от точки K (1; 1; 5) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(2;–1;–3) перпендикулярно двум плоскостям 5 x – 2 y + 12 z + 4 = 0 и 10 x + 7 y + 24 z – 2 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
5. Вычислить расстояние от точки K (2; 5; 3) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(–4; 3; –1) параллельно двум прямым 
и 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
6. Вычислить расстояние от точки K (4; –1; –2) до плоскости Р, проходящей через прямую 
перпендикулярно плоскости –4 x + 7 z + 3 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
7. Вычислить расстояние от точки K (4; 1; 3) до плоскости Р, проходящей через две точки M 1(5; 3; –4) и M 2(–8; 4; 8) параллельно вектору 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
8. Вычислить расстояние от точки K (4; –5; –2) до плоскости Р, проходящей через две параллельные прямые 
и 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
9. Вычислить расстояние от точки K (1; –2; 3) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(4; –3; 1) параллельно двум векторам 
и 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
10. Вычислить расстояние от точки K (1; –1; 0) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(5; 2; –2) и прямую 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
11. Вычислить расстояние от точки K (2; –1; –2) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(2; –4; 0) параллельно вектору 
и перпендикулярно плоскости y + 3 z + 4 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
12. Вычислить расстояние от точки K (3; 1; 2) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(–4; –5; 1) перпендикулярно прямой 
и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
13. Вычислить расстояние от точки K (2; –3; 4) до плоскости Р, проходящей через прямую 
параллельно вектору 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
14. Вычислить расстояние от точки K (–3; 4; –8) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(–1; 3; –5) перпендикулярно двум плоскостям 4 x – 2 y + 3 z – 1 = 0 и 5 x + z + 9 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
15. Вычислить расстояние от точки K (7; 2; 5) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(3; –2; 11) параллельно двум прямым 
и 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
16. Вычислить расстояние от точки K (3; 1; 6) до плоскости Р, проходящей через прямую 
перпендикулярно плоскости –8 x + 3 y + 5 z – 1 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
17. Вычислить расстояние от точки K (3; 6; –6) до плоскости Р, проходящей через две точки M 1(2; 4; –5) и M 2(2; 5; –6) параллельно вектору 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
18. Вычислить расстояние от точки K (–2; –1; 7) до плоскости Р, проходящей через две параллельные прямые 
и 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
19. Вычислить расстояние от точки K (2; 1; 6) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(–1; –4; 8) параллельно двум векторам 
и 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
20. Вычислить расстояние от точки K (1; 3; 1) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(5;2;–2) и прямую 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
21. Вычислить расстояние от точки K (6; 3; 3) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(4; –3; 5) параллельно вектору 
и перпендикулярно плоскости 7 x + 4 y + 3 z – 2 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
22. Вычислить расстояние от точки K (–3; 5; 3) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(–3; 1; 2) перпендикулярно прямой 
и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
23. Вычислить расстояние от точки K (1; –2; 4) до плоскости Р, проходящей через прямую 
параллельно вектору 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
24. Вычислить расстояние от точки K (7; 2; 5) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(2; –4; 1) перпендикулярно двум плоскостям 4 x + 3 y – 4 z + 8 = 0 и y + z – 3 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
25. Вычислить расстояние от точки K (–1; 4; –3) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(4; –5; –2) параллельно двум прямым 
и 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
26. Вычислить расстояние от точки K (–1; –1; –9) до плоскости Р, проходящей через прямую 
перпендикулярно плоскости 3 x + z + 4 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
27. Вычислить расстояние от точки K (–6; –1; –4) до плоскости Р, проходящей через две точки M 1(–1; 2; –6) и M 2(4; –1; 2) параллельно вектору 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
28. Вычислить расстояние от точки K (2; 3; –3) до плоскости Р, проходящей через две параллельные прямые 
и 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
29. Вычислить расстояние от точки K (–2; 3; –1) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(1; –2; 3) параллельно двум векторам 
и 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
30. Вычислить расстояние от точки K (0; –1; –2) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(3; –3; –5) и прямую 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
31. Вычислить расстояние от точки K (0; 2; –1) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(–1; 1; –2) параллельно вектору 
и перпендикулярно плоскости 2 x + 5 y + 6 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
32. Вычислить расстояние от точки K (2; 4; 1) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(5; 2; –4) перпендикулярно прямой 
и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
33. Вычислить расстояние от точки K (4; –2; 3) до плоскости Р, проходящей через прямую 
параллельно вектору 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
34. Вычислить расстояние от точки K (7; 2; –4) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(2; –4; 1) перпендикулярно двум плоскостям 4 x + 3 y – 4 z + 8 = 0 и y + z – 3 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
35. Вычислить расстояние от точки K (–3; –2; –5) до плоскости Р, проходящей через точку M 0(1; 4; –3) параллельно двум прямым 
и 
, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
36. Вычислить расстояние от точки K (2; –4; 1) до плоскости Р, проходящей через прямую 
перпендикулярно плоскости 7 x – 4 y – 3 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K.
4. Прямая на плоскости.
1. Даны уравнения 2 х + 7 у – 4 = 0 и 4 х – 5 у + 30 = 0 двух смежных сторон параллелограмма и точка М (–6; 5) пересечения его диагоналей. Написать уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма.
2. Составить уравнения сторон и вычислить координаты вершин ромба, зная одну из его вершин А (6; –1), точку O (0; 1) пересечения диагоналей и точку F (2; 3) на одной из сторон.
3. В прямоугольнике АВСD даны уравнения х + 3 у – 17 = 0 и х + 3 у + 3 = 0 двух его сторон и уравнение х + 7 у – 37 = 0 диагонали. Найти уравнения двух других сторон и второй диагонали прямоугольника.
4. Даны две С (–3; 2) и D (1; 4) смежные вершины параллелограмма АВСD и точка Q (0; –1) пересечения его диагоналей. Составить уравнения всех сторон и высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС параллелограмма.
5. Вычислить координаты вершин и записать уравнения сторон ромба, если известны уравнения х – 7 у + 38 = 0 и х – 7 у + 8 = 0 двух его сторон и уравнение х – 2 у + 8 = 0 одной из его диагоналей.
6. Даны две вершины В (3; 7) и С (–11; –7) треугольника и точка Р (4; 3) пересечения его высот. Составить уравнения сторон и медианы, проведенной из третьей вершины треугольника.
7. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: х + у + 1 = 0 и уравнения двух высот: АН: 3 х – 8 у + 3 = 0 и ВK: 3 х + 2 у + 9 = 0. Написать уравнение медианы, проведенной из вершины, противолежащей заданной стороне.
8. Найти координаты вершин и составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А (1; 3) и уравнения 4 х + 7 у – 1 = 0 и х – 4 у – 13 = 0 двух высот. Записать уравнение третьей его высоты.
9. Даны уравнения х – 2 у – 4 = 0, 5 х – у + 7 = 0 и х + у – 1 = 0 двух сторон треугольника и медианы. Составить уравнения третьей стороны треугольника и его высоты, опущенной на эту сторону.
10. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В (–1; 5), а также уравнения высоты 3 х + у + 5 = 0 и медианы 3 х + 2 у + 4 = 0, проведенных из одной вершины.
11. Составить уравнения сторон и вычислить координаты вершин ромба, зная одну из его вершин В (2; 1), точку S (3; 3) пересечения диагоналей и точку R (1; 2) на одной из сторон (проходящих через вершину В).
12. Даны уравнения х + 3 у + 7 = 0, 3 х – 8 у + 4 = 0 и 4 х – 5 у – 6 = 0 двух сторон треугольника и медианы. Составить уравнения третьей стороны треугольника и его высоты, опущенной на эту сторону.
13. В прямоугольнике АВСD даны уравнения 4 х – у + 34 = 0 и 4 х – у – 17 = 0 двух его сторон и уравнение 7 х + 11 у – 17 = 0 диагонали. Найти уравнения двух других сторон и второй диагонали прямоугольника.
14. Даны две вершины С (–4; –4) и А (3; –3) треугольника и точка Q (–1; 5) пересечения его высот. Составить уравнения сторон и медианы, проведенной из третьей вершины треугольника.
15. Даны две D (4; 1) и А (–2; 3) смежные вершины параллелограмма АВСD и точка R (1; 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения всех сторон и высоты, проведенной из вершины В к стороне СD параллелограмма.
16. Найти координаты вершин и составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин В (–3; 4) и уравнения х – 5 у + 4 = 0 и 4 х – 3 у + 5 = 0 двух высот. Записать уравнение третьей его высоты.
17. Вычислить координаты вершин и записать уравнения сторон ромба, если известны уравнения 13 х – у + 28 = 0 и 13 х – у – 108 = 0 двух его сторон и уравнение 3 х + 5 у – 4 = 0 одной из его диагоналей.
18. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С (5; 2), а также уравнения высоты 2 х – у – 2 = 0 и медианы х – у = 0, проведенных из одной вершины.
19. Даны уравнения 2 х + у + 5 = 0 и 4 х + 7 у = 0 двух смежных сторон параллелограмма и точка М (1; –2) пересечения его диагоналей. Написать уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма.
20. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны ВС: 7 х – 2 у + 13 = 0 и уравнения двух высот: СР: 5 х + 2 у – 1 = 0 и ВR: 3 х – 5 у – 11 = 0. Написать уравнение медианы, проведенной из вершины, противолежащей заданной стороне.
21. В прямоугольнике АВСD даны уравнения х – у + 2 = 0 и х – у + 6 = 0 двух его сторон и уравнение 3 х – 7 у + 26 = 0 диагонали. Найти уравнения двух других сторон и второй диагонали прямоугольника.
22. Даны две вершины А (–10; 8) и В (11; 1) треугольника и точка Н (5; –7) пересечения его высот. Составить уравнения сторон и медианы, проведенной из третьей вершины треугольника.
23. Даны две А (2; –4) и В (4; 2) смежные вершины параллелограмма АВСD и точка O (1; –1) пересечения его диагоналей. Составить уравнения всех сторон и высоты, проведенной из вершины С к стороне АD параллелограмма.
24. Найти координаты вершин и составить уравнения сторон треугольника, зная одну и его вершин С (–2; –4) и уравнения 6 х + 5 у – 16 = 0 и х + 2 у – 6 = 0 двух высот. Записать уравнение третьей его высоты.
25. Вычислить координаты вершин и записать уравнения сторон ромба, если известны уравнения х + 4 у + 9 = 0 и х + 4 у – 21 = 0 двух его сторон и уравнение х – у – 1 = 0 одной из его диагоналей.
26. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину А (3; –7), а также уравнения высоты 2 х + 3 у + 5 = 0 и медианы х + 3 у + 7 = 0, проведенных из одной вершины.
27. Даны уравнения 3 х – 5 у + 7 = 0 и х + 5 у + 9 = 0 двух смежных сторон параллелограмма и точка Р (1; 0) пересечения его диагоналей. Написать уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма.
28. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АС: х – 3 у – 10 = 0 и уравнения двух высот: АQ: 3 х + у = 0 и СМ: х – 5 у – 4 = 0. Написать уравнение медианы, проведенной из вершины, противолежащей заданной стороне.
29. Составить уравнения сторон и вычислить координаты вершин ромба, зная одну из его вершин D (–4; 1), точку N ( 2; – 1) пересечения диагоналей и точку Т (–5; –1) на одной из сторон.
30. Даны уравнения х – у + 4 = 0, 2 х + 3 у – 17 = 0 и у – 3 = 0 двух сторон треугольника и медианы. Составить уравнение третьей стороны треугольника и его высоты, опущенной на эту сторону.
31. Даны две В (–3; 1) и С (1; –4) смежные вершины параллелограмма АВСD и точка Н (2; 2) пересечения его диагоналей. Составить уравнения всех сторон и высоты, проведенной из вершины D к стороне АВ параллелограмма.
32. Найти координаты вершин и составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А (3; –3) и уравнения 7 х – 4 у + 2 = 0 и х – 7 у + 11 = 0 двух высот. Записать уравнение третьей его высоты.
33. Вычислить координаты вершин и записать уравнения сторон ромба, если известны уравнения х – 8 у + 11 = 0 и х – 8 у – 49 = 0 двух его сторон и уравнение 2 х – у – 8 = 0 одной из его диагоналей.
34. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В (–9; –6), а также уравнения высоты 4 х + у + 13 = 0 и медианы 2 х – у + 5 = 0, проведенных из одной вершины.
35. Даны уравнения 7 х + 4 у + 63 = 0 и 3 х + 10 у + 27 = 0 двух смежных сторон параллелограмма и точка K (–2; –5) пересечения его диагоналей. Написать уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма.
36. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: х + у + 2 = 0 и уравнения двух высот: АN: 4 х + у + 11 = 0 и ВD: 6 х – у + 5 = 0. Написать уравнение медианы, проведенной из вершины, противолежащей заданной стороне.
5. Уравнение прямой в отрезках.
Через точку С провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и осями координат, была равна S квадратным единицам.
| вариант | |||||||||
| С | –8; –9 | 2; –2 | 8; 3 | –4; 2 | 1; 2 | 6; 1 | –4; –5 | 9; –4 | –8; 6 |
| S, кв. ед. | 1,5 | ||||||||
| вариант | |||||||||
| С | 4; 3 | 2; –3 | 2; –9 | –3; 8 | 6; 6 | 5; –6 | –2; 2 | 4; 4 | –3; 2 |
| S, кв. ед. | 1,5 | 7,5 | 1,5 | ||||||
| вариант | |||||||||
| С | 2; 4 | –8; 1 | –6; –2 | 8; –5 | 1; –4 | 4; 6 | 4; –1 | 6; 8 | –2; –6 |
| S, кв. ед. | |||||||||
| вариант | |||||||||
| С | 8; –1 | –4; 3 | –8; –2 | 5; –4 | 6; 5 | –5; –8 | 3; 2 | 8; 3 | 4; –2 |
| S, кв. ед. | 7,5 |
6. Поворот вектора на угол.
1. Даны уравнения двух сторон квадрата: x – 3 y + 8 = 0 и x – 3 y – 2 = 0. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка A (–6; –6) лежит на стороне этого квадрата.
2. Точка B (1; 4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 3 x – 4 y – 12 = 0. Найти координаты остальных вершин квадрата.
3. В прямоугольном треугольнике при вершине С (4; –1) острый угол равен arctg3 и уравнение противолежащего катета 2 x + y – 2 = 0. Найти координаты остальных вершин прямоугольника.
4. Даны две противоположные вершины квадрата A (5; 1) и С (–4; 2). Найти координаты двух других вершин и составить уравнения диагоналей квадрата.
5. Из точки F (0; –4) направлен луч под углом arctg2 к прямой 2 x – y + 6 = 0. Найти уравнение луча, отраженного от этой прямой.
6. Точка С (–4; –5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x – 2 y + 4 = 0. Найти координаты остальных вершин квадрата.
7. Найти координаты вершин прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы 2 x – 3 y – 5 = 0 и вершину прямого угла A (–1; 2).
8. Даны уравнения двух сторон квадрата x + 2 y – 9 = 0 и x + 2 y + 6 = 0. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка F (–4; 4) лежит на стороне этого квадрата.
9. Точка С (2; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 2 x + 3 y – 6 = 0. Найти координаты остальных вершин квадрата.
10. В прямоугольном треугольнике при вершине А (–9; 5) острый угол равен arctg5 и уравнение противолежащего катета x + 2 y + 4 = 0. Найти координаты остальных вершин прямоугольника.
11. Даны две противоположные вершины квадрата В (–3; 1) и D (3; 3). Найти координаты двух других вершин и составить уравнения диагоналей квадрата.
12. Из точки N (–8; 8) под углом arctg4 к прямой 3 x – 2 y – 12 = 0 направлен луч. Найти уравнение луча отраженного от этой прямой.
13. Точка D (–5; 1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x + 2 y – 7 = 0. Найти координаты остальных вершин квадрата.
14. Найти координаты вершин прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы 2 x + 3 y = 0 и вершину прямого угла В (3; 5).
15. Даны уравнения двух сторон квадрата 4 x + y + 33 = 0 и 4 x + y – 18 = 0. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка N (–1; 5) лежит на стороне этого квадрата.
16. Точка D (–8; –5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 3 x + 5 y + 15 = 0. Найти координаты остальных вершин квадрата.
17. В прямоугольном треугольнике при вершине В (5; 1) острый угол равен arctg2 и уравнение противолежащего катета 2 x – y + 6 = 0. Найти координаты остальных вершин треугольника.
18. Даны две противоположные вершины квадрата С (6; 2) и А (–5; 3). Найти координаты двух других вершин и составить уравнения диагоналей квадрата.
19. Из точки Р (1; 4) направлен луч под углом 
к прямой x + 3 y – 3 = 0. Найти уравнение луча, отраженного от этой прямой.
20. Точка А (2; 4) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 7 x + 5 y + 40 = 0. Найти координаты остальных вершин квадрата.
21. Найти координаты вершин прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы 11 x – 5 y – 13 = 0 и вершину прямого угла С (6; –4).
22. Даны уравнения двух сторон квадрата 2 x – 5 y – 45 = 0 и 2 x – 5 y + 13 = 0. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка Р (3; –2) лежит на стороне этого квадрата.
23. Точка А (–1; –4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит
