2015-10-22
754
Статическое и чистое описание тепловых процессов различаются тем, что из законов статической физики с неизбежностью вытекает существование флуктуаций. В то же время вероятность сколько-нибудь заметных флуктуаций в системе, содержащей большое число частиц, чрезвычайно мала.
Открытие многочисленных примеров флуктуационных процессов явилось блестящим подтверждением законов статистической физики и послужило одним из важнейших моментов в окончательном утверждении молекулярной теории.
В работах Эйнштейна и Смолуховского было показано, что целый ряд давно известных физических процессов обусловлен явлением флуктуаций, и была развита количественная теория этих процессов, оказавшаяся в прекрасном согласии с экспериментами. Рассмотрим флуктуации в замкнутой системе. Пусть система находится в состоянии статического равновесия и имеет энтропию S 0. Предположим теперь, что состояние системы изменяется так, что она переходит в неравновесное состояние с энтропией S. Будем считать, что изменение состояния системы можно характеризовать изменением некоторого внутреннего параметра x, значение которого зависит от состояния всей системы. В равновесии x = x 0. Пример x – плотность ρ газа, находящегося в замкнутом теплоизолированном сосуде в состоянии равновесия плотность постоянна по всему объему сосуда x 0 = ρ0 = const.
|
|
|
В результате флуктуации система может самопроизвольно перейти в неравновесное состояние с переменной плотностью x = r(r).
Энтропия системы будет некоторой функцией параметра x, S = S(x). При этом в состоянии равновесия S 0 = S (x 0).
Вероятность застать систему в интервале значений x, x + dx должна быть пропорциональна статистическому весу (числу микросостояний) и величине интервала dx:
dP(x) ~ W (x)dx.
Для изолированной системы верна формула Больцмана:
S = k lnW Þ
dP(x) = const exp (S(x)/k)dx.
Константа определяется из условия нормировки
1 = ∫ dP(x) = const∫ exp (S(x)/k)dx.
Или для функции распределения
F(x) = const exp (S(x)/k). (2.68)
Выберем x так, что энтропия имеет максимум при x = 
= 0. Поэтому:
¶ S /¶ x ï x =0= 0, ¶2 S /¶ x 2ï x =0 < 0.
Величина x при флуктуациях очень мала. Разлагая S (x) в ряд по степеням x и ограничиваясь членом второго порядка, получим
S (x) = S (0) - (1/2)b x 2,
где b > 0. Тогда получим распределение вероятностей в виде:
f (x) dx = A exp(-b x 2/2 k) dx.
Нормировочная константа A определяется условием
.
Хотя выражение для f (x) относится к малым x, но ввиду быстрого убывания подынтегральной функции с увеличением ï x ï область интегрирования можно распространить на все значения от -¥ до +¥. Произведя интегрирование, получим:
A = 
(интеграл Пуассона).
|
|
|
Таким образом, распределение вероятностей для различных значений флуктуаций x определяется формулой
f (x) dx = exp(-b x 2/2 k) dx.
Распределение такого вида называется распределением Гаусса.
Оно имеет максимум при x = 0 и быстро спадает с увеличениемï x ïсимметрично в обе стороны.
Средний квадрат флуктуаций равен
< x 2> = 
= k /b.
Поэтому распределение Гаусса можно записать в виде:
f (x) dx = 
dx.
Функция f (x) имеет тем более острый максимум, чем меньше < x 2>.
Отметим, что по известному <x2> можно найти аналогичную величину для любой функции j(x). Ввиду малости x имеем:
<(Dj)2> = 
,
(подразумевается, что функция j (x) мало меняется при значениях
x ~ <x2> и что производная d j /dx отлична от нуля при x = 0).
Если 
, то распределение Гаусса запишется в виде:
dP = f (x) dx = 
dx.
