Распределение Больцмана

Барометрическая формула. Рассмотрим газ, находящийся в равновесии в поле силы тяжести. В этом случае сумма действующих сил на каждый элемент объема газа равна нулю. Выделим малый объем газа на высоте h (рис.2.7) и рассмотрим действующие на него силы:

На выделенный объем действует сила давления газа снизу, сила давления газа сверху и сила тяжести. Тогда баланс сил запишется в виде

,

где dm – масса выделенного объема. Для этого объема можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона

.

Выражая величину dm, можно получить уравнение

.

Разделяя переменные, получим

.

Проинтегрируем полученное уравнение, учтя, что температура постоянна,

.

Пусть давление на поверхности равно p₀, тогда полученное уравнение легко преобразовать к виду

. (2.24)

Полученная формула называется барометрической и достаточно хорошо описывает распределение давления по высоте в атмосфере Земли и других планет. Важно помнить, что эта формула была выведена из предположения равновесия газа, при этом величины g и T считались постоянными, что, конечно, не всегда справедливо для реальной атмосферы.

Распределение Больцмана. Запишем барометрическую формулу (2.24) через концентрацию частиц, воспользовавшись тем, что p = nkT:

, (2.25)

где m₀ - масса молекулы газа.

Такой же вывод можно провести для любой потенциальной силы (не обязательно для силы тяжести). Из формулы (2.25) видно, что в числителе экспоненты стоит потенциальная энергия одной молекулы в потенциальном поле. Тогда формулу (2.25) можно записать в виде

. (2.26)

В таком виде эта формула пригодна для нахождения концентрации молекул, находящихся в равновесии в поле любой потенциальной силы.

Найдем число частиц газа, координаты которых находятся в элементе объема dV = dxdydz

.

Полное число частиц в системе может быть записано в виде

.

Здесь интеграл формально записан по всему пространству, но надо иметь в виду, что объем системы конечен, что приведет к тому, что интегрирование будет вестись по всему объему системы. Тогда отношение

как раз и даст вероятность того, что частица попадет в элемент объема dV. Тогда для этой вероятности запишем

,

где величина потенциальной энергии молекулы будет, вообще говоря, зависеть от всех трех координат. Пользуясь определением функции распределения, можно записать функцию распределения молекул по координатам в следующем виде:

. (2.27)

Это и есть функция распределения Больцмана по координатам частиц (или по потенциальным энергиям, имея в виду, что потенциальная энергия зависит от координат). Легко показать, что полученная функция нормирована на единицу.

Связь распределений Максвелла и Больцмана. Распределения Максвелла и Больцмана являются составными частями распределения Гиббса. Температура определяется средней кинетической энергией. Поэтому возникает вопрос, почему в потенциальном поле температура постоянная, хотя по закону сохранения энергии при изменении потенциальной энергии частиц должна также изменяться их кинетическая энергия, а следовательно, как кажется на первый взгляд, и их температура. Другими словами, почему в поле тяжести при движении частиц вверх у всех них кинетическая энергия уменьшается, а температура остается постоянной, т.е. остается постоянной их средняя кинетическая энергия, а при движении частиц вниз энергия всех частиц увеличивается, а средняя энергия остается постоянной?

Это объясняется тем, что при подъеме из потока частиц выбывают наиболее медленные, т.е. «наиболее холодные». Поэтому расчет энергии ведется по меньшему числу частиц, которые на исходной высоте были в среднем «более горячими». Иначе говоря, если с нулевой высоты на высоту прибыло какое-то число частиц, то их средняя энергия на высоте равна средней энергии всех частиц на нулевой высоте, часть которых не смогла достигнуть высоты из-за малой кинетической энергии. Однако если на нулевой высоте рассчитать среднюю энергию частиц, достигших высоты , то она больше средней энергии всех частиц на нулевой высоте. Поэтому можно сказать, что средняя энергия частиц на высоте действительно уменьшилась и в этом смысле они «охладились» при подъеме. Однако средняя энергия всех частиц на нулевой высоте и высоте одинакова, т.е. и температура одинакова. С другой стороны, уменьшение плотности частиц с высотой также является следствием выбывания частиц из потока.

Поэтому закон сохранения энергии при подъеме частиц на высоту приводит к уменьшению их кинетических энергий и выбыванию частиц из потока. Благодаря этому, с одной стороны, плотность частиц с высотой уменьшается, а с другой стороны, их средняя кинетическая энергия сохраняется, несмотря на то, что кинетическая энергия каждой из частиц убывает. Это возможно подтвердить прямым расчетом, который рекомендуется проделать в качестве упражнения.

Атмосфера планет. Потенциальная энергия частицы массой в поле тяготения шарообразного небесного тела равна

, (2.28)

где – масса тела; – расстояние от центра тела до частицы; – гравитационная постоянная. Атмосфера планет, в том числе и Земли, не находится в равновесном состоянии. Например, вследствие того, что атмосфера Земли находится в неравновесном состоянии, ее температура не постоянна, как это должно было быть, а изменяется с высотой (уменьшается с увеличением высоты). Покажем, что равновесное состояние атмосферы планеты в принципе невозможно. Если бы оно было возможно, то плотность атмосферы должна была бы изменяться с высотой по формуле (2.26), которая принимает вид

(2.29)

где учтено выражение (2.28) для потенциальной энергии, – радиус планеты. Формула (2.29) показывает, что при плотность стремится к конечному пределу

(2.30)

Это означает, что если в атмосфере имеется конечное число молекул, то они должны быть распределены по всему бесконечному пространству, т.е. атмосфера рассеяна.

Поскольку, в конечном счете, все системы стремятся к равновесному состоянию, то атмосфера планет постепенно рассеивается. У некоторых из небесных тел, например у Луны, атмосфера полностью исчезла, другие, например Марс, имеют очень разряженную атмосферу. Таким образом, атмосфера Луны достигла равновесного состояния, а атмосфера Марса уже находится близко к достижению равновесного состояния. У Венеры атмосфера очень плотная и, следовательно, находится в начале пути к равновесному состоянию.

Для количественного рассмотрения вопроса о потере атмосферы планетами необходимо принять во внимание распределение молекул по скоростям. Силу земного притяжения могут преодолеть лишь молекулы, скорость которых превосходит вторую космическую. Эти молекулы находятся в «хвосте» распределения Максвелла и их относительное число незначительно. Тем не менее за значительные промежутки времени потеря молекул является чувствительной. Поскольку вторая космическая скорость у тяжелых планет больше, чем у легких, интенсивность потери атмосферы у массивных небесных тел меньше, чем у легких, т.е. легкие планеты теряют атмосферу быстрее, чем тяжелые. Время потери атмосферы зависит также от радиуса планеты, состава атмосферы и т.д. Полный количественный анализ этого вопроса является сложной задачей.

Экспериментальная проверка распределения Больцмана. При выводе распределения Больцмана не налагалось никаких ограничений на массу частиц. Поэтому в принципе оно применимо и для тяжелых частиц. Возьмем в качестве этих частиц, например, песчинки. Ясно, что они расположатся в некотором слое у сосуда. Строго говоря, это является следствием распределения Больцмана. При больших массах частиц показатель экспоненты столь быстро изменяется с высотой, что равен нулю везде за пределами слоя песка. Что касается пространства внутри слоя, то там надо принять во внимание объем песчинок. Это сведется к чисто механической задаче на минимум потенциальной энергии при заданных связях. Задачи такого типа рассматриваются не в статистической физике, а в механике.

Для того чтобы тяжелые частицы не «осели на дно», распределились в достаточно большом слое на высоте, необходимо чтобы их потенциальная энергия была достаточно малой. Этого можно достигнуть, помещая частицы в жидкость, плотность которой лишь на немного меньше плотности материала частиц. Обозначив плотность и объем частиц и , а плотность жидкости – , видим, что сила, действующая на частицу, равна . Следовательно, потенциальная энергия такой частицы на высоте от дна сосуда равна

(2.31)

Поэтому распределение концентраций этих частиц по высоте дается формулой

(2.32)

Чтобы эффект был достаточно хорошо заметен, частицы должны быть достаточно малыми. Число таких частиц на разных высотах в сосуде считают с помощью микроскопа. Эксперименты такого рода впервые были выполнены начиная с 1906 г. Ж.Б. Перреном (1870-1942).

Проделав измерения, можно прежде всего убедиться, действительно ли концентрация частиц изменяется по экспоненциальном закону. Перрен доказал, что это действительно так, и, следовательно, распределение Больцмана справедливо. Далее, исходя из справедливости распределения и измерив независимыми способами объемы и плотности частиц, можно по результатам эксперимента найти значение постоянной Больцмана , поскольку все остальные величины в (2.32) являются известными.

Таким путем Перрен измерил и получил результат, весьма близкий к современному. Другим независимым способом значение было получено Перреном из опытов с броуновским движением.

В последующем были проведены также эксперименты другого типа, полностью подтвердившие распределение Больцмана. Из экспериментов другого типа можно указать, например, на проверку зависимости поляризации полярных диэлектриков от температуры, рассмотренную выше.

Пример 2.2. Перрен использовал распределение гуммигутовых зерен в воде для измерения постоянной Авогадро. Плотность частиц гуммигута составляла r = 1,21×10³кг/м³, их объем t = 1,03×10^-19м³. Температура, при которой проводился эксперимент, была равна . Найти высоту , на которой плотность распределения гуммигутовых зерен уменьшилась в два раза.

Принимая во внимание, что, по условию задачи, t(r - r₀) = 0,22×10^-16 кг, получаем на основе формулы (2.32) h = kT ln2/[t(r - r₀) g ] = 12,3×10^-6 м.

Пример 2.3. В воздухе при температуре и давлении Па взвешены шарообразные частицы радиусом 10^{-7 м. Найти массу взвешенной частицы.}

По формуле (2.32) находим t(r - r₀) = kT ln2/ gh = 1,06×10^-23 кг.

Учитывая, что t = 4,19×10^-21 м³, находим (r - r₀) = 2,53×10^-3 кг/м³. Поскольку r₀ = 1,293 кг/м³, получаем r = 1,296 кг/м³ и, следовательно, масса частицы