Булевы алгебры. Теорема Стоуна. Принцип двойственности для булевых алгебр

Дистрибутивная решетка α=<A,≤> называется булевой алгеброй, если α имеет нуль0, единицу 1, 0≠1 и для любого элемента х из А найдется элемент (дополнение х) такой, что , .

Утверждение: Если α=<A,≤> - булева алгебра, то для любого элемента х дополнение единственно.

Доказательство: Предположим, что элемент х имеет два дополнения y и z, т.е. . По закону дистрибутивности получим, что элементы также являются дополнениями х, т.е. . При этом из y≠z следует, что . Отсюда получаем, что подрешетка решетки α с носителем образует решетку Р₅, что противоречит дистрибутивности решетки α. Наше допущение неверно.

Свойства булевой алгебры:

1) Ассоциативность:

2) Коммутативность:

3) Идемпотентность:

4) Дистрибутивность:

5) Поглощение:

6) Законы де Моргана:

7) Законы нуля и единицы: 0=ø, 1=U

8) Закон двойного отрицания:

Теорема Стоуна: Любая конечная булева алгебра изоморфна некоторой алгебре Кантора ()

Следствие: Любые две булевы алгебры, имеющие одинаковое число элементов, изоморфны. Число элементов конечной булевой алгебры равно 2ⁿ для некоторого .

Таким образом, конечная булева алгебра определяется однозначно с точностью до изоморфизма числом своих элементов.

Принцип двойственности для булевых алгебр: если в справедливом утверждении о булевых алгебрах, касающемся отношения ≤ и операций , всюду заменить на соответственно, то получится также справедливое утверждение, называемое двойственным к исходному.

Булево кольцо.

Кольцо <R,+,•> называется булевым, если a₂=a для всех .

Утверждение: Булево кольцо коммутативно, и a+a=0 для всех элементов .

Доказательство: По определению булева кольца: a+a=(a+a)²=a²+a²+a²+a²=a+a+a+a. Отсюда a+a=0, т.е. a=-a. Также, a+b=(a+b)²=a²+ab+ba+b²=a+b+ab+ba. Отсюда ab+ba=0. Тогда ab=ab+(ba+ba)=(ab+ba)+ba=ba.

Единицей кольца R называется такой элемент e, что a•e=e•a=a, для всех .

Пусть - булева алгебра. Определим операции кольцевых сложения и умножения на β по следующим правилам: - соответствует кольцевой сумме множеств, - соответствует пересечению множеств.

Теорема: Система образует булево кольцо с единицей 1.

Тогда: , , .