Визначимо поняття еквівалентності та потужності множини на основі взаємно-однозначної відповідності.
Дві множини називають еквівалентними (кількісно еквівалентними), якщо між ними можна встановити взаємно-однозначну відповідність. Іноді стверджують, що це множини з однаковою потужністю .
Множина , еквівалентна множині натуральних чисел N, називається зчисленною множиною. Властивість зчисленності передбачає, що кожному елементу множини можна поставити у відповідність натуральне число, тобто всі елементи множини можна занумерувати. При цьому:
а) будь-яка множина еквівалентна зчисленній множині є зчисленною множиною;
б) будь-які дві зчисленні множини є еквівалентними множинами;
в) будь-яка підмножина зчисленної множини є множиною зчисленною або скінченною;
г) довільне об'єднання скінченної та зчисленної множин є множиною зчисленною.
Поряд із цим, безконечну (нескінченну) множину, яка не є зчисленною, ми будемо називати незчисленною множиною. Множина всіх дійсних точок відрізка (0,1) є множиною потужності континуум. Всі множини, рівнопотужні з нею називатимемо множинами континуальної потужності. Доведено, що множина дійсних чисел є рівнопотужною із множиною всіх дійсних точок відрізка (0,1), а отже, множиною потужності континуум.
|
|
Наведемо декілька прикладів розв’язування задач із теорії множин.
Приклад 1. Довести тотожність .
Доведення. Покажемо, що будь-який елемент із множини є одночасно елементом множини . Для того, щоб необхідно, щоб . Аналогічно, , якщо . З іншого боку, якщо , то . Отже, якщо , то , тобто .
Покажемо тепер, що будь-який елемент із множини буде елементом множини . Нехай . Якщо , то , якщо , то . Отже, якщо , то . З іншого боку, якщо , то . Аналогічно, якщо , то . Отже, якщо , то , а значить . Враховуючи попередньо одержане: і , матимемо . Тотожність доведено.
Дане завдання можна подати, використовуючи графічну інтерпретацію. Для цього необхідно показати, що область, якій належать елементи множини співпадає з областю, якій належать елементи множини , використовуючи діаграми Ейлера-Венна.
Приклад 2. Задано множини :
, , , , . Знайти результат виконання операцій над множинами .
Розв’язування. Виконуючи дане завдання, необхідно використати визначення операцій над множинами, а також деякі з відомих законів.
; ; ;
Тоді
Отже, обчислимо .
Приклад 3. Задано множини :
; ; R – множина дійсних чисел. Чи будуть рівнопотужними множини і ?
Розв’язування. Очевидно, що обидві задані множини є нескінченними. Визначимо потужність кожної із них. Оскільки множина містить всі парні числа, кратні 3, вона є підмножиною множини натуральних чисел, а отже, її потужність є зчисленною. Елементами множини є всі дійсні числа за винятком натуральних парних чисел. Так як ця множина є підмножиною дійсних чисел, її потужність – континуум. Отже, множини та не є рівнопотужними.
|
|