Оптимальное управление линейной стохастической системой

Проиллюстрируем возможность применения достаточ­ных условий оптимальности для решения задачи синтеза на приме­ре управления линейной стохастической системой вида

где — центрированная случайная величина с дисперсией , ха­рактеризующая ошибки реализации управляющего (корректирую­щего) воздействия, пропорциональные величине этого воздействия, так называемое мультипликативное возмущение; — центрированный случайный вектор с корреляционной матрицей , характери­зующий воздействия, не зависящие от величины управления, так на­зываемое, аддитивное возмущение. В качестве критерия оптималь­ности примем ожидаемое значение обобщенной характеристики, рав­ной взвешенной сумме энергетических затрат и конечной точности:

где — заданные матрицы.

Рекуррентное соотношение (5.7) для данной задачи принимает вид

причем согласно (5.8) в конечный момент

Для момента i — N с учетом (5.9) получаем

Раскроем в последнем выражении операцию математического ожи­дания. Получим

где

Полагая, что матрица — положительно определенная, нахо­дим алгоритм оптимального управления для момента i = N:

Здесь

С учетом найденного алгоритма управления выражение для функции может быть преобразовано к виду

где через Λ_N обозначена матрица

По индукции нетрудно убедиться, что функция будущих потерь для любого момента i при определенных предположениях о матрицах представима в виде

Действительно, предполагая, что (5.13) имеет место в момент i+1, т.е.

на основе рекуррентного соотношения (5.11) получаем соотноше­ние (5.13), причем Λ_i, оказываются связанными с Λ_i+1, соот­ношениями

где

Попутно получаем и алгоритм оптимального управления в виде

Алгоритм (5.15) минимизирует правую часть в выражении (5.11), если матрицы - оказываются положительно определенны­ми. Можно показать, что для этого достаточно потребовать поло­жительную определенность матрицы .

Из равенства (5.12) получаем граничные условия для матрицы Λ_i и коэффициента :

Таким образом, алгоритм оптимального управления линейной стохастической системой (5.9) при квадратичном критерии (5.10) является линейным. В общем случае коэффициенты обратной свя­зи, определяемые матрицей , зависят от статистических свойств мультипликативного возмущения . Если же отсутствует, т. е. , то нетрудно заметить, что матрица коэффициентов обратной связи оказывается инвариантной по отношению к возмущениям. Итак, при наличии только аддитивных возмущений алгоритм опти­мального управления линейной стохастической системой (5.9) пол­ностью совпадает с оптимальным алгоритмом управления соответ­ствующей детерминированной системой, аддитивные возмущения сказываются лишь на значении функции будущих потерь и, следо­вательно, на величине критерия оптимальности. Наличие же мультипликативных возмущений приводит к изменению оптимального Управления (в данном случае не самой структуры, а лишь ее пара­метров ).