Контрольная работа №2

Задание 5

Комплексные числа и действия над ними

1. Цель работы

Научиться оперировать с комплексными числами и отображать их на плоскости.

2. Основные теоретические положения

См. раздел 2.1 (с.36, 37) УМК и раздел 3 Учебного пособия (с.19-23).

3. Порядок выполнения работы

Пример 1.

Найти сумму и разность чисел и .

○Числа даны в показательной форме, однако, операции алгебраического суммирования удобнее производить над числами, записанными в алгебраической форме, т.к. достаточно соответствующие действия выполнить отдельно для вещественных и отдельно для мнимых частей чисел, т.е.

(5)

i,

, .

Учитывая, что , построим все числа на рис. 1.●

Рис. 1

Пример 2.

Найти произведение и частное чисел .

○Находя z ₁× z ₂ поступим с числами, как с обычными алгебраическими многочленами, учитывая, что

Чтобы найти частное, следует освободиться в знаменателе от комплексного числа, для этого и числитель и знаменатель нужно умножить на число, сопряженное знаменателю.

На рис.2 представлены все числа.●

Рис.2

Задание 6

Вычисление производных функции комплексного переменного

1. Цель работы

Научиться вычислять производные от ФКП.

2. Основные теоретические положения

См. раздел 2.2 УМК (с.37-39) и раздел 4.2 Учебного пособия (с.26-29).

Пример.

Вычислить производную функции в точке z ₀ =πi.

○Для того чтобы функция была аналитической в некоторой области необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части были определены и непрерывны в этой области и удовлетворяли условиям Коши- Римана, т.е.

(воспользовались формулами ;

).

Таким образом, u (x,y) =sin 2 x ch 2 y; v (x,y)= -sh 2 y cos 2 x. Обе функции определены и непрерывны на всей комплексной плоскости. Осталось показать, что они удовлетворяют условиям Коши- Римана. Для этого нужно найти частные производные u (x,y) и v (x,y).

Таким образом , т.е. условия Коши- Римана выполнены. Следовательно, рассматриваемая функция аналитическая по всей числовой плоскости. Производную можно найти, воспользовавшись одной из формул: