Задание 5
Комплексные числа и действия над ними
1. Цель работы
Научиться оперировать с комплексными числами и отображать их на плоскости.
2. Основные теоретические положения
См. раздел 2.1 (с.36, 37) УМК и раздел 3 Учебного пособия (с.19-23).
3. Порядок выполнения работы
Пример 1.
Найти сумму и разность чисел и .
○Числа даны в показательной форме, однако, операции алгебраического суммирования удобнее производить над числами, записанными в алгебраической форме, т.к. достаточно соответствующие действия выполнить отдельно для вещественных и отдельно для мнимых частей чисел, т.е.
(5) |
i,
, .
Учитывая, что , построим все числа на рис. 1.●
Рис. 1
Пример 2.
Найти произведение и частное чисел .
○Находя z 1× z 2 поступим с числами, как с обычными алгебраическими многочленами, учитывая, что
Чтобы найти частное, следует освободиться в знаменателе от комплексного числа, для этого и числитель и знаменатель нужно умножить на число, сопряженное знаменателю.
|
|
На рис.2 представлены все числа.●
Рис.2
Задание 6
Вычисление производных функции комплексного переменного
1. Цель работы
Научиться вычислять производные от ФКП.
2. Основные теоретические положения
См. раздел 2.2 УМК (с.37-39) и раздел 4.2 Учебного пособия (с.26-29).
Пример.
Вычислить производную функции в точке z 0 =πi.
○Для того чтобы функция была аналитической в некоторой области необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части были определены и непрерывны в этой области и удовлетворяли условиям Коши- Римана, т.е.
(воспользовались формулами ;
).
Таким образом, u (x,y) =sin 2 x ch 2 y; v (x,y)= -sh 2 y cos 2 x. Обе функции определены и непрерывны на всей комплексной плоскости. Осталось показать, что они удовлетворяют условиям Коши- Римана. Для этого нужно найти частные производные u (x,y) и v (x,y).
Таким образом , т.е. условия Коши- Римана выполнены. Следовательно, рассматриваемая функция аналитическая по всей числовой плоскости. Производную можно найти, воспользовавшись одной из формул: