Замена переменной интегрирования

Интегральное исчисление функций одной переменной.

Понятие неопределенного интеграла

Определение 3.5.1. Функция F (x) называется первообразной функцией для данной функции f (x) на данном промежутке, если на этом промежутке .

Теорема 3.5.1. Если F ₁(x) и F ₂(x) – две первообразные для функции f (x) на некотором промежутке, то разность между ними на этом промежутке равна постоянному числу.

Определение 3.5.2. Выражение F (x)+С, где F (x) – первообразная функции f (x) и С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом , причем f (x) называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования; – знак неопределенного интеграла.

Таким образом, по определению , если .

Теорема 3.5.2. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то на этом отрезке у функции f (x) существует первообразная.

Свойства неопределенного интеграла

1. или .

 

2. или .

 

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

 

4. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

.

 

Таблица основных интегралов

1. ;	5. ;
2. ;	6. ;
3. ;	7. ;
4. ;	8. ;
	9. ;
	10. ;
	11. ;
	12. ;
	13. .

Пример 3.5.1. Приведем примеры непосредственного интегрирования.

1.

.

2.

 

 

Основные методы интегрирования

Замена переменной интегрирования

Делая подстановку х = φ (t), где φ (t) – функция, имеющая непрерывную производную, получим и

– формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример 3.5.2. найдем подстановкой х = t ². Тогда dx=2tdt и .

Иногда вместо подстановки х = φ (t) лучше выполнить замену переменной вида t=ψ (x).

Пример 3.5.3. Найти .

○ Полагая , получаем: ,

и

.●