Геометрический и физический смысл определенного интеграла

1. Путь S, пройденный точкой по прямой за время T – t ₀ со скоростью v = v (t) (v (t) непрерывна на [ t ₀; T ]), есть .

2. Если переменная сила F = f (x) действует в направлении оси O x (f (x) – непрерывна на [ a; b ]), то работа этой силы на отрезке [ a; b ] оси О х равна .

3. Если функция f (x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [ a; b ], то геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), снизу – отрезком [ a; b ] оси О х, с боков – отрезками прямых x = a, x = b.

Пример 3.5.11. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и гиперболой .

○ Найдем точки пересечения параболы и гиперболы, для этого решим систему уравнений:

;

;

;

, ; , .

Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках А(1; 0) и В(3; 4) (рис. 3.27). Следовательно,

4,58 (кв. ед.). ●

Замена переменной в определенном интеграле

Формула замены переменной в определенном интеграле:

,

где , α и β определяются из условий соответственно.

Пример 3.5.12. Вычислить .

○

●

Теорема 3.5.6. (Теорема о среднем) Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то в интервале (a; b) найдется такая точка с, что

.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть u = u (x), v = v (x) – непрерывно дифференцируемые на отрезке [ a; b ] функции. Тогда

.