Понятие определенного интеграла

Теорема 3.5.4. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 3.5.5. (Формула Ньютона-Лейбница). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и F (x) – первообразная функции f (x) на этом отрезке, то .

называют определенным интегралом от функции f (x). Здесь функция f (x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением, числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел).

Примечание. Для краткости записи употребляется обозначение и формула Ньютона-Лейбница принимает вид: .

Пример 3.5.9. .

Пример 3.5.10. .

Основные свойства определенного интеграла

Ниже будем рассматривать функции, непрерывные на отрезке [ a; b ].

1) Определенный интеграл с равными верхним и нижним пределами интегрирования от некоторой функции равен нулю: .

2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: .

3) Определенный интеграл от суммы двух функций равен сумме определенных интегралов от этих функций:

.

4) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

.

5) Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям:

, где a < c < b.

6) Если функция f (x)>0 на отрезке [ a; b ], то .