Интегрирование дробно-рациональных функций

Неправильную рациональную дробь всегда можно свести к правильной, разделив числитель на знаменатель «столбиком» и выделив из дроби целую часть. Поэтому будем рассматривать задачу интегрирования правильной рациональной дроби.

Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа следующих видов простейших дробей:

1) , 2) , 3) , 4) , где k и l – целые числа.

Теорема 3.5.3. Для дроби , знаменатель которой имеет вид , где , справедливо следующее разложение на сумму простейших дробей:

,

где k и l – целые числа.

Одним из наиболее простых методов определения коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие является метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим его на примере.

Пример 3.5.7. Разложить дробь на сумму простейших дробей.

○По Теореме 3.5.3 ищем разложение в виде:

Приводим дроби к общему знаменателю :

, откуда

.

Раскрывая скобки получаем:

.

В правой части уравнения приводим подобные слагаемые (левую оставляем без изменений), получаем

.

Из последнего равенства, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой его частях, получаем

Отсюда .●

Пример 3.5.8. Найти .

○ Представим в виде , тогда по теореме 3.5.3: ,

,

,

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего равенства, получаем

.

Найдем

●