2017-11-30
204
Неправильную рациональную дробь всегда можно свести к правильной, разделив числитель на знаменатель «столбиком» и выделив из дроби целую часть. Поэтому будем рассматривать задачу интегрирования правильной рациональной дроби.
Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа следующих видов простейших дробей:
1) 
, 2) 
, 3) 
, 4) 
, где k и l – целые числа.
Теорема 3.5.3. Для дроби 
, знаменатель которой имеет вид 
, где 
, справедливо следующее разложение на сумму простейших дробей:
,
где k и l – целые числа.
Одним из наиболее простых методов определения коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие является метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим его на примере.
Пример 3.5.7. Разложить дробь 
на сумму простейших дробей.
○По Теореме 3.5.3 ищем разложение в виде:
Приводим дроби к общему знаменателю 
:
, откуда
.
Раскрывая скобки получаем:
.
В правой части уравнения приводим подобные слагаемые (левую оставляем без изменений), получаем
.
Из последнего равенства, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой его частях, получаем
Отсюда 
.●
Пример 3.5.8. Найти 
.
○ Представим в виде 
, тогда по теореме 3.5.3: 
,
,
,
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего равенства, получаем
.
Найдем 
●
