Интеграл Лагранжа — Коши

Интеграл Бернулли (см. § 5.1) получен на основе уравнений Эйлера, записанных в форме (5.2) — (5.4) или (5.5), для установившегося движения идеальной несжимаемой жидкой среды. Чтобы решить задачу о неустановившемся движении такой среды, уравнение Эйлера (5.5) преобразуют в уравнение Громеки — Лэмба. С этой целью используют оператор

Скалярное произведение вектора скорости и оператора имеет вид

Применяя (5.39) как оператор, находят

С помощью (5.40) индивидуальную производную (3.12) представляют в виде

Затем уравнение (5.5) записывают следующим образом:

Член уравнения (5.41) заменяют правой частью равенства

Окончательно уравнение (5.41) принимает форму уравнения Громеки-Лэмба:

В случае безвихревого движения =0, уравнение (5.42) упрощается:

При этом в соответствии с формулой (3.62) , но благодаря независимости частной производной по времени от производных по координатам, допустимо поменять последовательность дифференцирования:

Если, кроме того, поле массовых сил, как и при вычислении интеграла Бернулли, потенциально, то можно также воспользоваться соотношением (5.6). В предположении баротропности жидкой среды во всем занимаемом ею пространстве и наличия функции давления (5.13)

Применяя с учетом сказанного выше соотношения (5.6), (5.44) и (5.45), уравнение (5.43) записывают в виде

Выражение, стоящее в уравнении (5.46) в скобках, не зависит от координат, но может зависеть от времени, поэтому

Уравнение (5.47), которое является первым интегралом уравнений движения, называют интегралом Лагранжа — Коши. Здесь — произвольная функция времени, определяемая исходя из граничных условий. При установившемся движении жидкой среды , , и уравнение (5.47) превращается в интеграл Бернулли, который строго не вычисляется в случае неустановившегося движения жидкой среды. Но в отличие от интеграла Лагранжа — Коши для интеграла Бернулли достаточно выполнения условия баротропности только на линии тока или вихревой линии, а не во всем пространстве, занятом жидкой средой. В том, что интеграл Бернулли справедлив также вдоль вихревой линии, можно убедиться, записав уравнение Громеки — Лэмба (5.42) при в виде

После умножения уравнения (5.48) скалярно на можно выделить следующие равенства:

где означает дифференцирование вдоль вихревой линии.

Равенство (5.49) показывает, что вдоль вихревой линии

т.е справедливо такое же уравнение, как интеграл Бернулли (5.15), полученный вдоль линии тока.

Вектор принадлежит потенциальному векторному полю, поскольку

В этом случае через каждую точку пространства, занятого жидкой средой, проходит поверхность, ортогональная векторной линии . Такие поверхности можно получить, проводя через все точки линии тока вихревые линии (рис. 5.5) или проводя через все точки вихревой линии линии тока. Указанные поверхности называются поверхностями уровня трехчлена интеграла Бернулли. Константы, которым равен трехчлен, будут разными вдоль разных линий тока или разных вихревых линий.

Рис. 5.5. Линии тока и вихревые линии, определяющие

поверхности уровня Е = const

 

Трехчлен имеет одинаковое значение во всем пространстве, занятом жидкой средой, если во всех точках этого пространства

что указывает на отсутствие поверхностей уровня.

Равенство (5.50) имеет место в двух случаях:

движение безвихревое ();

движение винтовое, когда вихревые линии совпадают с линиями тока, жидкие частицы поворачиваются вокруг касательных к линиям тока.