движения жидкой среды

В предыдущих параграфах движение жидкой среды подразделялось на вихревое и безвихревое (потенциальное). Возможность существования последнего вида движения требует дополнительного обоснования. Для этого необходимо рассмотреть, как во времени изменяется циркуляция скорости Г, вычисленная по состоящему из одних и тех же жидких частиц контуру, так называемому жидкому контуру. Перемещаясь вместе с жидкой средой, такой контур может деформироваться, поэтому в общем случае Г = T(t). Если контур не замкнут, то в различные моменты времени

где пределы интегрирования А и В зависят от времени.

Изменение циркуляции характеризует производная

Рис. 5.6. Положение жидкой частицы в разные моменты времени

 

Чтобы перейти в интеграле (5.51) к переменной, область интегрирования которой не зависит от времени, следует положение М жидкой частицы на контуре АВ в момент времени t связать с ее положением на контуре в момент времени (рис. 5.6). Положение частицы на контуре задано длиной дуги l, измеренной от точки . При этом положение частицы на контуре АВ определяется радиус-вектором , соответственно скорость и ускорение а равны

Поскольку интегрирование выполняется при фиксированном , формулу (5.51) можно представить в виде

где — длина дуги .

Пределы интегрирования в (5.54) являются постоянными величинами, что позволяет выполнить дифференцирование по времени подынтегральной функции

Учитывая, что вдоль контура

в (5.55) можно вернуться к исходным переменным:

Для замкнутого контура

Согласно формуле (5.56), производная по времени от циркуляции по замкнутому контуру равна циркуляции ускорения по тому же контуру.

В случае идеальной жидкой среды (см. § 5.1)

Если, кроме того, жидкая среда баротропна и массовые силы имеют потенциал, равенство (5.57) принимает вид

Подстановка (5.58) в интеграл (5.56) дает следующий результат:

В соответствии с (5.59) имеет место равенство

Полученный результат выражает теорему Кельвина (Томсона): при баротропном движении идеальной жидкой среды в поле массовых с однозначным потенциалом сил циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не изменяется во времени.

Так как циркуляция скорости по замкнутому контуру определяет суммарную интенсивность вихревых трубок, охваченных контуром, то из теоремы Кельвина следует, что при движении идеальной баротропной жидкой среды и массовых силах, имеющих потенциал, сохраняется интенсивность вихревых трубок, т.е.

Если в момент времени, принимаемый за начальный во всем занятом жидкой средой пространстве, движение безвихревое (), то в любой другой момент времени

Отсюда вследствие произвольного значения выбранной поверхности , а поскольку ориентация сечения вихревой трубки также произвольна, имеем

Следовательно, если движение жидкой среды вначале было безвихревым, то оно таким и сохраняется.

Равенство (5.61) вместе с условиями, при которых оно получено, выражает теорему Лагранжа. Использованный при выводе (5.61) интеграл (5.60) указывает на то, что существующее в начальный момент времени вихревое движение при идеальной жидкой среде будет сохраняться. В действительности вихревые движения могут возникать и исчезать вследствие наличия в жидкостях и газах внутреннего трения. Причиной вихреобразования в идеальной жидкой среде может быть нарушение условия ее баротропности, если плотность среды зависит не только от давления, но и от температуры.