Трубе переменного сечения

При движении газа по каналам с переменными по длине проходными сечениями дозвуковой поток может перейти в сверхвзуковой. Для приближенного исследования такого явления рассмотрим движение газа в трубе с проходными сечениями, изменяющимися вдоль оси трубы, и недеформирующимися стенками. Движение газа установившееся, причем вектор скорости в данном сечении трубы направлен вдоль ее оси.

Скорость , давление , плотность ρ и температура θ газа изменяются от сечения к сечению, но в пределах одного сечения каждая величина имеет одинаковые значения. Газ предполагается совершенным и идеальным, а изменение состояния газа — адиабатическим. В данном случае гидродинамические и термодинамические величины приняты функциями одной координаты, поэтому поток газа является одномерным.

Пренебрегая массовыми силами, после дифференцирования левой части (5.12) получаем

В соответствии с формулой (5.27) имеем . С учетом этого соотношения уравнение (5.32) принимает вид

По условию неразрывности при установившемся одномерном течении

где — площадь проходного сечения трубы, зависящая от координаты .

После логарифмирования и дифференцирования соотношения (5.34) находим

С помощью (5.35) уравнение (5.33) запишем в виде

Разделив обе части уравнения (5.360 на и воспользовавшись формулой (5.31), получаем уравнение Гюгонио:

Уравнение (5.37) при позволяет сделать следующие выводы.

1. В случае на участке трубы, где вдоль оси площадь проходного сечения уменьшается (), скорость движения газа увеличивается (), а на участке трубы, где вдоль оси площадь проходного сечения увеличивается (), скорость движения газа уменьшается ().

Рис. 5.4. Схема сопла Лаваля

Следовательно, движение газа аналогично движению несжимаемой жидкости.

2. В случае , на участке трубы с уменьшающейся вдоль оси площадью проходного сечения () скорость движения уменьшается (), а на участке трубы с увеличивающейся вдоль оси площадью проходного сечения (), скорость движения газа также увеличивается ().

Другими словами, в сверхзвуковом потоке газа в отличие от потока несжимаемой жидкости скорость увеличивается, если растет проходное сечение трубы.

3. При , согласно (5.37), . Это означает, что равенство скоростей движения газа и распространение звука возможно в сечении, для которого функция имеет экстремум.

На приведенных выводах основан принцип действия устройства, предложенного К. Лавалем, с помощью которого осуществляется переход от дозвукового потока к сверхзвуковому. Устройство имеет конфузорную (с уменьшающимся по длине участка проходным сечением) и диффузорную (с расширяющимся по длине участка проходным сечением) части (рис. 5.4). В месте сопряжения обеих частей скорость потока газа равна скорости звука. Такое устройство называют соплом Лаваля. Впервые оно было применено в паровых турбинах.