Установление функциональной связи между физическими величинами, описывающими процесс

При постановке экспериментов, построении моделей часто бывает полезным предварительно установить функциональную связь между параметрами, определяющими процесс.

Если известны ФВ, характеризующие некоторый процесс, то методом сравнения размерностей можно с точностью до постоянного множителя найти уравнение, отражающее связи этих величин между собой.

Пример 1. Установить зависимость периода свободных колебаний математического маятника от его параметров.

Рис.11

Маятник характеризуется длиной и массой груза . Колебания происходят в поле сил тяжести. Его характеристика – ускорение свободного падения .Указанные величины примем в качестве основных единиц измерения. Для этого они должны обладать независимыми размерностями:

;

Определитель, составленный из показателей степеней величин, входящих в формулы размерности:

Это свидетельствует о независимости размерностей рассматриваемых физических величин.

Следовательно, период свободных колебаний маятника можно представить функцией вида:

Величины входят в эту функцию с показателями , а сама функция имеет вид степенного одночлена:

, (п.1)

где - безразмерный, неопределяемый коэффициент пропорциональности;

- подлежащие определению показатели степени.

Составим уравнение размерностей, выражающее равенство размерностей левой и правой частей соотношения (п.1). Так как

то можно записать:

или

Сравнивая соответствующие показатели размерностей левой и правой частей этого равенства, получаем систему уравнений:

Отсюда: .Подставляя найденные значения показателей в формулу (п.1), находим:

Значение коэффициента может быть найдено из опыта (эксперимента).

Из решения дифференциального уравнения движения математического маятника известно, что

В итоге получаем известную формулу для определения периода свободных колебаний маятника:

Пример 2. Определить период свободных колебаний одномассовой системы как функцию от ее параметров: жесткости и массы.

Рис.12

Свободные колебания системы определяются следующими параметрами: -массой, - жесткостью и - перемещением массы относительно положения статического равновесия . Период свободных колебаний, в общем случае, зависит от массы , жесткости и перемещения :

За основные единицы примем единицы измерения величин . Можно показать, что они обладают независимыми размерностями

т.к. определитель

Искомую функцию представим в виде степенного одночлена:

, (п.2)

где - неопределяемый постоянный коэффициент;

- показатели степени, подлежащие определению.

Левая и правая части этого равенства должны иметь одинаковую размерность. Так как , то получаем:

Сравнивая показатели степеней при соответствующих размерностях левой и правой частей равенства, находим:

Отсюда: .Подставляя найденные значения показателей в (п.2), имеем:

Из решения уравнений движения системы известно: .

Окончательно

Пример 3. Определить период свободных колебаний поплавка в жидкости.

Рис.13

Определяющие параметры: - плотность жидкости; - глубина погружения поплавка; - ускорение свободного падения. Определяемый параметр: - период свободных колебаний.

Величины имеют независимые размерности

т.к. определитель

Тогда период свободных колебаний можно представить в виде степенного одночлена

, (п.3)

где - постоянный коэффициент;

- искомые показатели степеней.

Уравнение размерностей.

Так как , то уравнение размерностей имеет вид:

Уравнения для определения показателей степени.

Сравнивая показатели степеней при соответствующих размерностях, находим:

Отсюда .

Подставим эти значения в выражение (п.3). В результате получим

Известно, что . Тогда

Пример 4. Определить зависимость времени истечения жидкости из сосуда от его параметров (рис.14). Определяющие параметры: - ускорение свободного падения; - уровень жидкости в сосуде; - плотность жидкости; - поперечная площадь сосуда; - площадь отверстия, через которое происходит истечение жидкости. Определяемый параметр: - время истечения жидкости из сосуда.

Рис.14

Величины примем в качестве основных. Их размерности

являются независимым, т.к. определитель

Будем полагать, что время истечения пропорционально и обратно пропорционально . Тогда можно принять для рассмотрения следующую функциональную зависимость:

. (п.4)

Запишем уравнение размерностей:

Так как то

Отсюда

Решение этой системы дает: .

Подставляя найденные значения показателей соответствующих размерностей в выражение (п.4), находим:

Точное решение задачи дает . Заметим, что при отсутствии точного решения величина может быть определена экспериментальным путем.

Окончательно

Пример 5. Установить функциональную связь силы давления струи на стенку с параметрами: - площадь сечения насадка; - скорость истечения жидкости из насадка (скорость струи).

Рис.15

Определяющие параметры: . Определяемый параметр: .Величины примем в качестве основных. Их размерности

являются независимыми, т.к.

Функциональную зависимость будем искать в виде степенного одночлена

. (п.5)

Составим уравнение размерностей

Так как , то

или

Отсюда

Тогда

Подставляя найденные показатели в (п.5), находим:

Известно, что . Окончательно .

Пример6. Установить зависимость избыточного давления в покоящейся жидкости в заданной точке от глубины этой точки под свободной поверхностью. Жидкость имеет плотность и находится в поле сил тяжести, которое характеризуется ускорением свободного падения .

Рис.16

Избыточное давление – определяемая величина. Величины -определяющие величины, которые должны иметь независимые размерности, а их число должно быть равно числу основных единиц в системе .