Пример 1. Течение вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе (рис.17).
Рис.17
Искомой величиной является перепад давления на трубе . Параметры, определяющие процесс:
- длина трубы, ;
- диаметр трубы, ;
- средняя скорость движения жидкости, ;
- плотность жидкости, ;
- динамическая вязкость, ;
- высота выступа шероховатости, .
1.Список параметров рассматриваемой системы
.
Величины имеют независимые размерности
,
,
,
т.к.
.
Поэтому список основных и производных величин примет вид:
.
2. Количество безразмерных комплексов (критериев подобия) в соответствии с - теоремой: 7-3=4.
3. Определение критериев подобия
Критерий :
. (п.7)
Составим уравнение размерностей:
.
Отсюда получаем систему уравнений для определения показателей степени
Решение этих уравнений дает: .
Подставляя полученные значения показателей степени в формулу (п.7), находим:
.
Критерий ищем в виде:
.
Уравнение размерностей
.
Отсюда
Показатели степени равны: .
С учетом найденных значений показателей степени критерий принимает вид:
.
Критерий
.
Уравнение размерностей
.
Уравнения для показателей степени
Показатели степени .
Критерий подобия
.
Критерий находится аналогично критерию и имеет вид:
.
4. Критериальное уравнение запишется следующим образом:
или
.
Разрешим критериальное уравнение относительно :
.
Если предположить, что течение жидкости в трубе является равномерным (характер течения и распределение скоростей не меняется вдоль трубы), то можно принять, что перепад давления будетпропорционален длине трубы. Тогда параметр может быть вынесен за знак функции в виде множителя:
.
Полученная формула может быть приведена к формуле Дарси-Вейсбаха для потерь напора по длине трубы. Принимая во внимание, что , получим:
,
где - коэффициент Дарси, зависящий от числа Рейнольдса и относительной шероховатости внутренней поверхности трубы.
Пример 2. Момент трения вращающегося диска (рис. 18).
Рис. 18
Искомая величина – момент на оси , .
Параметры, определяющие процесс:
- радиус диска, ;
- расстояние до стенки камеры, ;
- шероховатость диска, ;
- шероховатость стенки камеры, ;
- угловая скорость, ;
- плотность жидкости, ;
- динамическая вязкость, .
1. Список параметров системы
.
Список основных и производных величин
.
2. Количество критериев подобия: 8-3=5.
3. Определение критериев подобия.
Критерий :
;
;
;
;
.
Критерии . Находятся аналогично критерию и имеют вид:
.
Критерий .
;
;
;
;
.
Критерий .
;
;
;
;
.
4. Критериальное уравнение
.
Отсюда
,
где .
Рассмотрим величину . Этот критерий можно заменить критерием Рейнольдса , где - окружная скорость диска. Тогда
.
Величина может быть определена экспериментальным путем.
Пример 3. Вихревое обтекание тела (рис.19).
Рис.19
Необходимо определить период срыва вихрей , .
1. Процесс характеризуется следующими параметрами
.
Здесь: - характерный размер, ; - размер, определяющий форму тела, ; - скорость обтекающего потока, ; - плотность жидкости, ; - динамическая вязкость, .
Список основных и производных величин
.
2. Количество критериев: 6-3=3.
3. Определение критериев подобия.
Критерий
;
;
;
;
.
Критерий
;
;
;
;
.
Критерий
;
;
;
;
.
4. Критериальное уравнение
.
Отсюда
,
где – число Рейнольдса.
Величина может быть определена экспериментальным путем.
Пример 4. Сопротивление сферы при обтекании потоком вязкой жидкости. Искомая величина – сила сопротивления , . Параметры, определяющие процесс: - радиус сферы, ; - скорость обтекания, ; - плотность жидкости, ; - динамическая вязкость, .
1. Список параметров, характеризующих процесс:
.
Основные и производные величины
.
2. Количество критериев: 5-3=2.
3. Определение критериев.
Критерий
;
;
;
;
.
Критерий
;
;
;
;
.
4. Критериальное уравнение
или
,
где - коэффициент сопротивления, определяемый экспериментально.
Пример 5. Задача Стокса о падении шара малых размеров в вязкой среде под действием силы тяжести. Предполагается, что падение шара не вызывает турбулентности. Список параметров, характеризующих процесс:
- скорость шара, ;
- плотность шара, ;
- диаметр шара, ;
- плотность среды, ;
- динамическая вязкость среды, ;
- ускорение свободного падения, .
1. Список основных и производных величин
.
2. Число критериев: 6-3=3.
3. Определение критериев.
Критерий
;
;
;
;
.
Критерий
;
;
;
;
.
Критерий
;
;
;
;
.
4. Критериальное уравнение
или
.
Отсюда
или
,
где - коэффициент, определяемый экспериментально;
- число Рейнольдса.
Приложение 6