2017-12-14
633
Эргодичность — специальное свойство изменяющейся (динамической) системы, состоящее в том, что в процессе эволюции системы почти каждая точка её с определённой правильностью проходит вблизи любой другой точки системы. Иными словами, система «забывает» своё начальное состояние и ведёт себя хаотически.
Преимущество эргодических динамических систем в том, что при достаточном времени наблюдения такие системы можно описывать статистическими методами. С другой стороны, долгосрочное предсказание эргодических систем невозможно — небольшая ошибка измерений приведёт к серьёзному расхождению реальной траектории с предсказанной.
Эргодическая теория — один из разделов общей динамики.
Свойство эргодичности, о котором далее пойдет речь, важно потому, что при его наличии имеют место чрезвычайно существенные соотношения между функцией распределения и временем пребывания случайной функции ξ(t) в определенном интервале значений, между статистическими средними и средними по времени.
|
|
|
Функции распределения, согласно «аксиоме измерения» вероятности, имеют статистический смысл. Это относительные частоты в ансамбле одинаковых систем, т. е. систем, в каждой из которых воспроизведены одни и те же условия протекания данного случайного процесса и одни и те же способы его регистрации или наблюдения. Если, например, речь идет о флуктуациях, то одинаковыми должны быть макроскопические характеристики всех систем, составляющих ансамбль. Имея ансамбль систем, мы располагаем обширным набором реализаций рассматриваемой случайной функции ξ(t) и с помощью соответствующих вероятностей, т. е. распределений систем ансамбля по возможным значениям ξ(t) можем находить м.о. ξ(t), φ(t1.t2) и т. д.
Теоретики любят оперировать с ансамблями, но у экспериментаторов обычно одна лаборатория и одна установка, а не1e6 или 1e9. За данный промежуток времени (0 -T) экспериментатор может получить лишь одну реализацию интересующего его случайного процесса и предпочитает поэтому усреднять по времени, пользуясь одной реализацией ξ(t) одной осциллограммой или аналогичным образцом. Спрашивается, в каком соотношении находятся эти способы усреднения — по времени и по ансамблю?
Забегая вперед, укажем уже теперь, что для стационарных процессов, обладающих свойством эргодичности, оба способа усреднения при достаточно больших Т практически совпадают, так как в этом случае стационарная вероятность состояния равна относительному времени пребывания системы в данном состоянии. Соответственно среднее статистическое равно среднему по достаточно большому промежутку времени. Говоря «равно» или «совпадает», мы, конечно, допускаем неточность, так как речь идет лишь о вероятностной сходимости — по вероятности, в среднем квадратичном или почти наверное.
|
|
|
Эти утверждения более точно сформулированы и доказаны в ряде работ.
(21.13)
где р T(x) дается формулой «эффективной» плотности вероятности
(21.14)
Первый интеграл в (21.13) это эмпирическая величина, получаемая в результате определенной обработки осциллограммы f[ξ(t)] в интервале (0 – T). Вместе с тем это случайная величина, различная для разных реализаций ξ(t)
в интервале (0 – T), а ω1(t,x) - одномерная и плотность вероятностей ξ(t).
Можно сказать, что это закон больших чисел в применении к непрерывному наблюдению.
Рис. 21.1
Докажем теперь, что при условии того, что имела место сходимость в среднем квадратичном, относительное время пребывания ξ(t) в промежутке (x,x+dx) сходится по вероятности при T→ ∞ к p ∞ (x)dx, где
(21.15)
если, конечно, этот предел существует. Относительным временем пребывания называется отношение суммарного времени T(x,x+dx), проведенного ξ(t) в промежутке (x.x+dx), т. е. суммы всех отмеченных на рис. 9 жирной линией отрезков оси абсцисс от момента 0 до момента Т, к полной продолжительности интервала Т.
Теорема же (21.13) принимает теперь вид
(21.16)
Все сказанное справедливо для случайного процесса f[ξ(t)], удовлетворяющего условию сходимости в среднем квадратичном - так называемому условию эргодичности этого процесса. Необходимое и достаточное условие сходимости в среднем квадратичном можно заменить более сильными требованиями — достаточными условиями эргодичности, которые в приложениях теории большей частью оказываются выполненными. Например, условие сходимости в среднем квадратичном будет удовлетворено, если функция корреляции всюду ограничена и при всяком t убывает с увеличением ∆t.
