Понятие допустимой области

В ряде случаев в качестве альтернативы может быть выбрана любая точка n-мерного пространства. Обычно на практике на выбор альтернативы накладываются дополнительные условия, которые выступают в виде ограничений на изменение вектора Х. Такие ограничения называют параметрическими. В n-мерном пространстве могут быть участки, в которых по каким-либо причинам выбор альтернативы также запрещается. Обычно границы этих участков задаются посредством функциональных ограничений.

Таким образом, область пространства, в которой поиск результата разрешен, называется допустимой областью.

Например, для целевой функции Z=x³ параметрическое ограничение может иметь вид: -1≤x≤1.

В случае двух переменных задание параметрических ограничений в качестве допустимой области образует на плоскости х₁0х₂ элементарный прямоугольник (рис. 5).

Рис. 5. Допустимая область

В общем случае функциональные ограничения представляются в виде неравенства: P_j (Х)≤0 или P_j(Х)≥0, j=1, 2, …, m.

При появлении функциональных ограничений прямоугольник искажается и ДО приобретает сложную конфигурацию (рис. 6).

Рис. 6. Конфигурации допустимой области: виды ДО: выпуклые (а); вогнутые (б); несвязные (в)

ДО называется выпуклой, если все точки отрезка, соединяющего любые точки, принадлежащие ДО, целиком в ней содержатся.

Различают задачи безусловной (рис. 7) и условной (рис. 8) оптимизации. В первых задачах понятия ДО нет, т.е. поиск экстремумов целевой функции ведется во всем пространстве изменения переменных.

Рис. 7. Безусловная оптимизаци

Рис. 8. Условная оптимизация

Линии равного уровня

Пусть имеем функцию двух переменных Z=f (x₁, x₂). Представим ее в трехмерном пространстве. Полученные фигуры будем сечь плоскостями, параллельными плоскости х₁0х₂.

а)

б)

Рис. 9. Линии равного уровня: а — унимодальная целевая функция; б — двухэкстремальная целевая функция

Тогда проекции линий пересечения образуют на плоскости х₁0х₂ так называемые линии равного уровня, где значение целевой функции постоянно (рис. 9).

Если заданы линии уровня многоэкстремальной целевой функции, то различать экстремумы можно с помощью специальных пометок, которые проставляются в разрывах линий равного уровня (как на географических картах) (рис.10).