Условие стационарности

Пусть имеется функция f(Х). Градиент этой функции grad f(Х) — вектор, который определяется как:

Например, пусть имеется функция f(Х) = x₁²+x₂³.

Для точки с координатами (1, 1) grad будет иметь следующий вид (рис. 11):

Рис. 11. Построение градиента

Градиент указывает направление наискорейшего увеличения функции, антиградиент — наискорейшего убывания. Градиент перпендикулярен касательной к линии уровня.

Если в какой-то точке gradравен 0, то такая точка называется стационарной. Например, стационарность точки А математически записывается следующим образом:

Условие стационарности необходимо для существования экстремума, но недостаточно. Среди стационарных точек, кроме экстремальных, могут встречаться также седловые точки (точки перегиба).

Часто аналитическое определение градиента невозможно. Тогда применяют численные методы.

Формула для определения градиента численным методом имеет вид:

При Dхi ð 0 — точность определения градиента возрастает.