Равенство одноименных тригонометрических функций

 

 

Пример Решить уравнение .

Решение.

Ответ. , .

 

Пример Решить уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение.

Ответ. .

 

Пример Известно, что и удовлетворяют уравнению

Найти сумму .

Решение. Из уравнения следует, что

Ответ.

1.10 Домножение на некоторую тригонометрическую функцию

 

Рассмотрим суммы вида

 

Данные суммы можно преобразовать в произведение, домножив и разделив их на , тогда получим

 

 

Указанный прием может быть использован при решении некоторых тригонометрических уравнений, однако следует иметь в виду, что в результате возможно появление посторонних корней. Приведем обобщение данных формул:

 

 

Пример Решить уравнение .

Решение. Видно, что множество является решением исходного уравнения. Поэтому умножение левой и правой части уравнения на не приведет к появлению лишних корней.

Имеем .

Ответ. ; .

 

Пример Решить уравнение .

Решение. Домножим левую и правую части уравнения на и применив формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, пролучим

 

 

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , откуда и .

Так как корни уравнения не являются корнями уравнения, то из полученных множеств решений следует исключить . Значит во множестве нужно исключить .

Ответ. и , .

 

Пример Решить уравнение .

Решение. Преобразуем выражение :

 

Уравнение запишется в виде:

 

 

Принимая , получаем . , . Следовательно

Ответ. .