Если уравнение имеет вид
то замена приводит его к квадратному, поскольку () и.
Если вместо слагаемого будет , то нужная замена будет .
Уравнение
сводится к квадратному уравнению
представлением как . Легко проверить, что при которых , не являются корнями уравнения, и, сделав замену , уравнение сводится к квадратному.
Пример Решить уравнение .
Решение. Перенесем в левую часть, заменим ее на , и выразим через и .
После упрощений получим: . Разделим почленно на , сделаем замену :
Возвращаясь к , найдем .
Уравнения, однородные относительно ,
Рассмотрим уравнение вида
где , , ,..., , --- действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения степени одночленов равны , т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна . Такое уравнение называется однородным относительно и , а число называется показателем однородности.
Ясно, что если , то уравнение примет вид:
решениями которого являются значения , при которых , т. е. числа , . Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.
|
|
Если же , то эти числа не являются корнями уравнения.
При получим: , и левая часть уравнения (1) принимает значение .
Итак, при , и , поэтому можно разделить обе части уравнения на . В результате получаем уравнение:
которое, подстановкой легко сводится к алгебраическому:
Однородные уравнения с показателем однородности 1. При имеем уравнение .
Если , то это уравнение равносильно уравнению , , откуда , .
Пример Решите уравнение .
Решение. Это уравнение однородное первой степени . Разделим обе его части на получим: , , , .
Ответ. .
Пример При получим однородное уравнение вида
Решение.
Если , тогда разделим обе части уравнения на , получим уравнение , которое подстановкой легко приводится к квадратному: . Если , то уравнение имеет действительные корни , . Исходное уравнение будет иметь две группы решений: , , .
Если , то уравнение не имеет решений.
Пример Решите уравнение .
Решение. Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на , получим: . Пусть , тогда , , . , , ; , , .
Ответ. .
К уравнению вида сводится уравнение
Для этого достаточно воспользоваться тождеством
В частности, уравнение сводится к однородному, если заменить на , тогда получим равносильное уравнение:
Пример Решите уравнение .
Решение. Преобразуем уравнение к однородному:
Разделим обе части уравнения на , получим уравнение:
Пусть , тогда приходим к квадратному уравнению: , , , , .
Ответ. .
Пример Решите уравнение .
|
|
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: , ,
Пусть , тогда получим , , .
Ответ. .
Уравнения, решаемые с помощью тождеств
Полезно знать следующие формулы:
Пример Решить уравнение .
Решение. Используя, получаем
Ответ.
Предлагаем не сами формулы, а способ их вывода:
следовательно,
.
Аналогично, .
Пример Решить уравнение .
Решение. Преобразуем выражение :
.
Уравнение запишется в виде:
Принимая , получаем . , . Следовательно
Ответ. .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данном реферате были рассмотрены методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, как простейших, так и олимпиадного уровня. Были рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, причем, как специфические --характерные только для тригонометрических уравнений и неравенств,- так и общие функциональные методы решения уравнений и неравенств, применительно к тригонометрическим уравнениям.
В работе приведены основные теоретические сведения: определение и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; выражение тригонометрических функций через другие тригонометрических функции, что очень важно для преобразования тригонометрических выражений, в особенности содержащих обратные тригонометрические функции; кроме основных тригонометрических формул, хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения, содержащие обратные тригонометрические функции. Рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми или различными, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений и подробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрических уравнений.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике. /Выгодский Я.Я. --- М.: Наука, 1970.
Игудисман О., Математика на устном экзамене/ Игудисман О. --- М.: Айрис пресс, Рольф, 2001.
Азаров А.И., уравнения/Азаров А.И., Гладун О.М., Федосенко В.С. --- Мн.: Тривиум, 1994.
Литвиненко В.Н., Практикум по элементарной математике / Литвиненко В.Н.--- М.: Просвещение, 1991.
Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике: решение задач/ Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. --- М.: Просвещение, 1991.
Бардушкин В., Тригонометрические уравнения. Отбор корней/В. Бардушкин, А. Прокофьев.// Математика, №12, 2005 с. 23--27.
Василевский А.Б., Задания для внеклассной работы по математике/Василевский А.Б. --- Мн.: Народная асвета. 1988. --- 176с.
Сапунов П. И., Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений/Сапунов П. И. // Математическое просвещение, выпуск №3, 1935.
Бородин П., Тригонометрия. Материалы вступительных экзаменов в МГУ[текст]/П.Бородин, В.Галкин, В.Панфёров, И.Сергеев, В.Тарасов // Математика №1, 2005 с. 36--48.
Самусенко А.В., Математика: Типичные ошибки абитуриентов: Справочное пособие/Самусенко А.В., Казаченок В.В.--- Мн.: Вышейшая школа, 1991.
Азаров А.И., Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач/Азаров А.И., Барвенов С.А.,--- Мн.: Аверсэв, 2004.