Законы Стефана-Больцмана и смещения Вина

Английские физики Стефан, анализируя экспериментальные данные в 1879 году, и Больцман, применяя термодинамический метод в 1884 году, решили задачу о зависимости универсальной функции Кирхгофа от частоты, однако лишь частично, установив зависимость излучательности от температуры. Согласно полученному ими закону Стефана-Больцмана, можно записать:

(1.6)

то есть излучательность абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры. -постоянная Стефана-Больцмана – ее экспериментальное значение.

Закон Стефана-Больцмана, определяя зависимость от температуры, не дает ответа относительно спектрального состава излучения абсолютно черного тела. Из экспериментальных кривых зависимости универсальной функции Кирхгофа от длины волны при различных температурах, рис.2, следует, что распределение энергии в спектре абсолютно черного тела является неравномерным. Все кривые имеют ярко выраженным максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн. Площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, пропорциональна излучательности абсолютно черного тела и, следовательно, по закону Стефана-Больцмана, четвертой степени температур. Немецкий физик Вин, опираясь на законы термо- и электродинамики, установил зависимость длины волны , соответствующей максимуму функции Кирхгофа , от температуры. Согласно закону смещения Вина:

, (1.7)

то есть длина волны, соответствующая максимальному значению спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре. - постоянная Вина. Выражение (1.7) называется законом смещения потому, что оно показывает смещение положения максимума по мере возрастания температуры в область коротких длин волн. Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение (например, переход белого каления в красное свечение при остывании расплавленного металла). Законы Стефана-Больцмана и Вина являются все - таки частными законами, так как не дают общей картины распределения энергии по частотам при различных температурах.

Формула Релея-Джинса

Следующая попытка теоретического вывода зависимости принадлежит английским ученым Релею и Джинсу, которые применили при рассмотрении теплового излучения методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Релея-Джинса для спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела имеет вид:

, (1.8)

где - постоянная Больцмана.

Как показал эксперимент, выражение (1.8) согласуется с экспериментом только в области малых частот и больших температур. В области больших частот, рис.3, формула Релея-Джинса резко расходится с экспериментом. Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана-Больцмана из формулы Релея-Джинса приводит к абсурду. Действительно:

в то время как по закону Стефана-Больцмана . Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы» – в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре абсолютно черного тела.

Формула Планка

Правильное, согласующееся с экспериментальными данными выражение для универсальной функции Кирхгофа (спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела) было предложено Максом Планком (14.12.1900 г.). Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями – квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебаний:

(1.9)

где - постоянная Планка. Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии :

Используя статистические методы и представления о квантовом характере излучения, Планк получил для универсальной функции Кирхгофа следующее выражение:

, (1.10)

где .

Полученная Планком формула блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения абсолютно черного тела во всем интервале частот нуля до бесконечности и при различных температурах.

Из формулы Планка можно вывести частные законы, описывающие тепловое излучение.

В области малых частот, то есть при (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией теплового движения), из формулы Планка (10) можно получить формулу Релея-Джинса. Для доказательства этого разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами:

Подставляя последнее выражение в формулу Планка (14.10), находим, что:

т.е. получили формулу Релея-Джинса (1.8).

В области больших частот, т.е. при (энергия фотона много больше энергии теплового движения) из формулы Планка (1.10) получается закон излучения Вина:

являющийся, таким образом, предельным случаем формулы Планка.

Из формулы Планка можно также получить закон Стефана-Больцмана. Согласно определению излучательности абсолютно черного тела:

подставим значение универсальной функции Кирхгофа, полученное Планком:

(1.11)

Введем безразмерную переменную , тогда формула (1.11) преобразуется к виду:

(1.12)

где , таким образом, формула Планка позволяет получить закон Стефана-Больцмана. Кроме того, подстановка числовых значения констант дает для постоянной Стефана-Больцмана величину, хорошо согласующуюся с экспериментальными данными.