Замкнутые системы. Сохранение импульса

Введем понятие замкнутой физической системы. Для начала можно понимать под этим систему, совершенно изолированную (хотя бы путем удаления от всех тел) от любых внешних воздействий. Ясно, что практически такого выполнить нельзя. Хотя бы малые воздействия всегда останутся. Более разумно назвать замкнутой систему, для которой внешние воздействия в каком-то смысле малы. В каком – сейчас выяснится. Для любой системы полный импульс P меняется под действием суммы внешних сил F: ∆P ∆t = F или ∆P = F∆t. Если сумма внешних сил F мала, то незначительным будет и изменение импульса системы ∆P за некоторое время ∆t. Тогда можно считать, что импульс сохраняется,

4.1. Замкнутые системы. Сохранение импульса 47

то есть, если и изменяется, то пренебрежимо мало:

P(t +∆ t)=P(t) или P(t2)=P(t1).

Это и будет закон сохранения импульса: конечный импульс системы равен начальному. Разумеется, импульс сохраняется только для замкнутой системы. Видим, что замкнутость – понятие относительное и зависит от внешней силы и времени наблюдения. Так как полного равенства суммы внешних сил F нулю практически не бывает, важно, чтобы произведение F∆t было малым по сравнению с характерными значениями импульсов тел системы. Даже маленькая сила в течение длительного времени может заметно изменить полный импульс. Наоборот, если время ∆t мало, то и при значительной внешней силе изменение импульса будет малым, то есть приближенно импульс будет сохраняться. Например, часто закон сохранения импульса применяют в задачах с коротким временем взаимодействия тел (удар, выстрел) даже при наличии внешних сил. Примеры. 1. Если Земля сталкивается с астероидом, то систему (Земля + астероид) можно считать замкнутой на интервале времени порядка недели, хотя на оба тела с большой силой действует Солнце. Теперь рассмотрим эту же систему на промежутке времени в 3 месяца. За это время импульс системы (в основном, конечно, Земли) повернется на прямой угол и его изменение будет существенным: ∆P = P ·√2. Тогда, конечно, систему нельзя считать замкнутой.

2. Пусть охотник, стоя в лодке, стреляет под углом α к горизонту. Какую скорость приобретет лодка в результате отдачи? Обычно говорят, что в горизонтальном направлении не видно внешних сил, и горизонтальная компонента импульса должна сохраняться. Начальный импульс нулевой, и можно написать равенство импульсов до и после выстрела:

Px(до)=0=Mux + mvcosα = Px(после), откуда ux = −mvcosα/M (M – сумма масс охотника и лодки). Посмотрим, однако, что будет с вертикальной компонентой. Время выстрела ∆t порядка L/v, где L – длина ствола. Подставляя L =1ми v = 500 м/с, получаем ∆t ≈ 2·10−3 с. Характерный импульс по вертикали Py = mvsinα при α = 30 ◦ равен 0,01 · 5 · 102/2=2,5 кг·м/св системе СИ. Чтобы нарушить сохранение вертикального импульса за время выстрела ∆t, нужна внешняя сила порядка Py/∆t =2,5/2·10−3 ≈ 103 = 100 кГ. Если пренебрегать горизонтальными силами, то стемжеоснованиемможно пренебречь и вертикальными: вес лодки иохотника вначале компенсирован архимедовой силой. Поэтому лодка приобретет и вертикальную скорость uy = mvsinα/M, направленную вниз, а полная скорость лодки

48 Глава 4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ будет u = −mv/M 1. Затем лодка начнет погружаться, и только через несколько колебаний (т.е. несколько секунд) она полностью потеряет вертикальный импульс (система станет незамкнутой по вертикали). Решение, пренебрегающее вертикальной скоростью, скорее подходит для стрельбы с бронепоезда, опирающегося на жесткие рельсы. Конечно, мы для упрощения предполагали жесткую связь лодки и охотника. Встречаются случаи, когда система не полностью замкнута, то есть имеется внешняя сила F =0, но все же сохраняется проекция импульса, перпендикулярная F. Например, при полете тела в поле тяжести сила mg направлена вертикально, и горизонтальная проекция импульса сохраняется (если пренебречь сопротивлением воздуха). При ударе упругого тела о стенку, если нет трения, сохраняется составляющая импульса, параллельная стенке (сила взаимодействия перпендикулярна стенке). Мы получили закон сохранения импульса из законов Ньютона. Однако в физике часто нельзя однозначно разделить аксиомы и теоремы. Покажем (следуя курсу Р.Фейнмана), что сохранение импульса естественно вытекает из симметрии взаимодействий. Сначала рассмотрим столкновение двуходинаковых тел с одинаковыми повеличине, нопротивоположно направленными скоростями (рис. 4.1а). Пусть происходит абсолютно неупругий удар, то есть после соударения образуется единое тело. Очевидно из симметрии, что получившееся тело после удара будет неподвижным (в исходной системе отсчета). Тогда имеем равенство mv +m·(−v)=0. Пока это просто алгебраическое тождество: справа записан результат сложения. Но можно понимать это равенство и как закон сохранения импульса (в данном частном случае). Слева имеем импульс системы до удара, справа – после удара (произведение массы получившегося тела на нулевую скорость). Рассмотрим то же соударение в системе отсчета, которая связана со вторым телом до удара. Для перехода в эту систему нужно ко всем скоростям прибавить v (рис. 4.1б), и получим тождество: m·2v + m·0=2m·v. Отсюда видно, что масса суммарного тела должна быть суммой масс «реагентов». Только при этомусловиитакоеравенство выполняется вновой(инесложно показать, чтовлюбой)системе отсчета. Скорость же при столкновении одинаковых тел равна средней арифметической из скоростей до удара. Теперь пусть сталкивается тело массы 3m, движущееся со скоростью v, с неподвижным телом m. Представим себе, что тело массы 3m составное (2m+1m) и что сначала ударяется передняя масса 1m. Из предыдущих рассуждений понятно, что получится составное тело массы 2m, имеющее скорость v/2. Теперь пусть налетает со скоростью v оставшаяся масса 1На самом деле лодка толкает окружающую воду. Кроме массы M, двинется примерно такая же масса воды. Поэтому довольно большая импульсная сила реакции воды во время выстрела появится. Из-за нее и горизонтальная, и вертикальная скорость уменьшатся, возможно, в два раза, но не до нуля (это означало бы жесткое закрепление лодки), но все равно ux и uy имеют один порядок величины.