Теорема Гаусса в дифференциальной форме

Введем понятие объемной плотности заряда аналогично плотности массы. Чтобы найти суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности , нужно вычислить интеграл от по объему, ограниченному поверхностью, , т.е. можно записать теорему Гаусса

.

Воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса (Михаил Васильевич Остроградский – крупнейший русский математик, академик, 1801 – 1861 гг.) (без вывода):

Тогда (*).

По определению дивергенции . Из выражения (*) следует теорема Гаусса в дифференциальной форме

Для уяснения смысла дивергенции проведем параллель с текущей жидкостью. Известно, что – удельная мощность источников жидкости в данной точке ( – вектор скорости). По аналогии говорят, что заряды являются источниками электрического поля.

Вопросы для самоконтроля.

1. Сформулируйте закон Кулона.

2. Что такое напряженность электрического поля?

3. В чем заключается принцип суперпозиции электрических полей?

4. Что такое силовые линии? Для чего они используются?

5. Дайте определение потока напряженности электрического поля через элементарную площадку. Как определяется полный поток напряженности через произвольную поверхность?

6. Сформулируйте теорему Гаусса и проделайте ее вывод.

7. Решите самостоятельно задачи на применение теоремы Гаусса.