2017-12-14
3871
Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира (Ф.Энгельс, придерживаемся определения до этого времени). В нее входят такие дисциплины, как арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, высшая математика (аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисления и др.). Каждая из них изучает количественные отношения и пространственные формы мира в особом аспекте и действует своими собственными методами.
Период современной математики (XIX – начало XXI вв.) характеризуется следующими основными чертами:
Углубленный анализ накопленного математикой огромного фактического материала и объединение его с новых точек зрения.
Активная разработка проблем обоснования математики: критический пересмотр ее исходных положений (аксиом), построение строгой системы определений и доказательств, критический анализ логических приемов, употребляемых в ходе этих доказательств.
Расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой: исследуются отношения между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т.п.
Сознательное и активное создание математиками принципиально новых математических теорий на основе аксиоматического метода путем правильно выполненного абстрагирования от налагавшихся ранее ограничений, не имеющих внутренней логической необходимости. Наиболее яркие примеры – создание неевклидовых геометрий и многомерных алгебр.
Формирование новых математических дисциплин, таких как дискретная математика, математическая логика, теория алгоритмов, теория информации, теория игр, математическое программирование и др.
Усложнение и углубление традиционных связей с естествознанием и техникой, расширение использования математических методов в биологии, социальных и гуманитарных науках.
Расширение области применения математики вследствие развития ЭВМ и компьютеризации всех сфер общественной жизни.
Математика — это фундаментальная наука, методы которой, активно применяются во многих сферах деятельности.
(((Известный датский физик Нильс Бор говорил, что математика является значительно большим, чем наука – она является языком науки. И, наверное, поэтому до настоящего времени среди философов нет единого мнения о том, является ли математика наукой в общепринятом смысле. Наука — область человеческой деятельности, направленная на выработку и систематизацию объективных знаний о действительности. Основой этой деятельности является сбор фактов, их постоянное обновление и систематизация, критический анализ и, на этой основе, синтез новых знаний или обобщений, которые не только описывают наблюдаемые природные или общественные явления, но и позволяют построить причинно-следственные связи с конечной целью прогнозирования.)))
Потребности науки и техники стимулируют развитие теоретической математики. Так, создание метода наименьших квадратов связано с геодезическими работами; из запросов электротехники возник новый раздел теории вероятностей – теория информации; развитие методов приближенного решения дифференциальных уравнений связано с нуждами астрономии и т.д.
Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все формы движения материи, а также сознание могут исследоваться математически.
В настоящее время наиболее универсальными математическими методами, широко и успешно применяемыми в разных науках, являются методы математической гипотезы и математического моделирования. Данные методы позволяют спрогнозировать и изучать явления в любой сфере человеческой деятельности, поэтому они используются не только в естествознании, но также и в социально-гуманитарных науках.
Вопрос 4 Классические и современные представления о предмете математики.
Математика, как и другие науки, изучает действительный, материальный мир, объекты этого мира и отношения между ними. Однако в отличие от наук о природе, исследующих различные формы движения материи (механика, физика, химия, биология и т. д.) или формы передачи информации (информатика, теория автоматов и другие разделы кибернетики), математика изучает формы и отношения материального мира, взятые в отвлечении от их содержания. Поэтому математика не изучает никакой особой формы движения материи и, следовательно, не может рассматриваться как одна из естественных наук.
Во второй половине XIX в. Ф. Энгельс дал следующее определение предмета математики: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал». При этом он указывал: «Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне, как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, x и y, постоянные и переменные величины»
Из этих слов Энгельса вытекает, что исходные понятия математики, бывшие предметом изучения с самого зарождения математической науки, — натуральное число, величина и геометрическая фигура — заимствованы из действительного мира, являются результатами абстрагирования отдельных черт материальных объектов, а не возникли путем «чистого мышления», оторванного от реальности. В то же время, для того чтобы стать предметом математического исследования, свойства и отношения материальных объектов должны быть абстрагированы от их вещественного содержания.
Таким образом, специфика математики состоит в том, что она выделяет количественные отношения и пространственные формы, присущие всем предметам и явлениям, независимо от их вещественного содержания, абстрагирует эти отношения и формы и делает их объектом своего исследования.
Однако определение Ф. Энгельса в значительной мере отражает состояние математики во второй половине XIX в. и не учитывает те ее новые области, которые непосредственно не связаны ни с количественными отношениями, ни с геометрическими формами. Это, прежде всего, математическая логика и дисциплины, связанные с программированием для ЭВМ. Поэтому определение Ф. Энгельса нуждается в некотором уточнении. Возможно, нужно сказать, что математика имеет своим объектом изучения пространственные формы, количественные отношения и логические конструкции.
Предмет математики в действительном мире - это пространственные
формы и количественные отношения мироздания. Отсюда вытекает проблема
выделения количественных отношений в чистом виде, то есть возникает
вопрос, как описать отношения равенства, принадлежности, соизмеримости,
геометрические отношения и т.п. таким образом, чтобы это описание не
зависело от содержания объектов.
Характерные черты математики как науки. Противоречия как движущие силы математики. Источники нового в математике: практика, внутренние потребности самой математики, необходимость обоснования математики.
Отметим следующие характерные черты математической науки:
1) Математика изучает абстрагированные свойства предметов — числа, а не совокупности предметов, геометрические фигуры, а не реальные тела. При этом математика абсолютизирует свои абстракции: возникшие в ходе ее развития математические понятия в дальнейшем закрепляются и рассматриваются как данные
2) Основным методом получения математических результатов является логический вывод, не опирающийся на экспериментальную проверку.
3) Как следствие этого имеет место непреложность математических выводов. Если приняты исходные посылки, то полученные из них математическим путем результаты непреложны. Если же результаты расходятся с опытом, то следует подвергнуть исследованию принятые посылки.
4) Абстракции, возникающие в математике, развиваются ступенчато — от абстракций, непосредственно обобщающих свойства реальных предметов, к абстракциям столь высокого уровня, как топологические пространства, общие алгебраические системы, алгоритмы и т. д.
5) Математика обладает свойством универсальной применимости. В любой области, где только удается математически поставить задачу, математика дает результат с точностью, соответствующей точности постановки задачи.
6) Наконец отметим, что математика занимает особое положение в системе наук — её нельзя отнести ни к гуманитарным, ни к естественным наукам. Она дает те основные понятия, которые используются почти во всех науках. Такие понятия, как «множество», «структура», «система», «изоморфизм» и т. д., впервые возникшие в математике, сейчас приобрели статус общенаучных понятий.
Практика является одним из важных источников новых проблем и понятий в математике. Однако прогресс математики невозможен без внутреннего развития самой математики. Стремление к общности результатов, их завершенности независимо от возможных применений — неисчерпаемые источники прогресса математики. На всех этапах ее развития постоянно возникали и возникают проблемы, связанные с упорядочением и переосмысливанием, полученных ранее результатов. Так, упорядочение логических основ математики привело к созданию н развитию таких ее абстрактных областей, как математическая логика, теория алгоритмов, теория множеств. Примером внутреннего развития математической теории может служить также теория случайных процессов, возникшая в 30-х годах нашего столетия из разрозненных фактов и примеров физики, демографии, радиотехники.
Наконец, существует еще немаловажный стимул в развитии математики — любопытство и воображение исследователя. Стремление к познанию окружающего нас мира является характерной чертой человека, это движущая сила прогресса всего человеческого общества. При этом здравый смысл и интуиция играют важную роль в творчестве математиков. Более того, ряд выдающихся математических идей появились, опередив существующие стандарты строгости. Так было, например, с созданием основ анализа бесконечно малых величин, а также с такими фундаментальными понятиями математики, как предел, алгоритм, вероятность, которыми пользовались без строгого их уточнения. Вместе с тем, какой бы полезной ни была математическая идея, рано или поздно возникает необходимость в построении строгого логического фундамента, обеспечивающего формальную непротиворечивость математической теории.
Потребности развития самой математики, "математизация" различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению ряда новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и др.
В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод, при котором в фундамент теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом. Примером применения аксиоматического подхода в математике является евклидовая геометрия, в которой четко проведена идея получения основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем из небольшого числа аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.
ВОПРОС 9
Моделирование– мощный метод познания внешнего мира. Прогнозирования явлений и управления внешними процессами. замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом, именуемым моделью. Моделирование обычно выполняется с целью познания свойств оригинала путем исследования его модели, а не самого объекта.
Мм- приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.
-Совокупность соотношений, которые с заданной точностью описывают св-ва объекта существенные для цели исследования.
моделирование предполагает 2 основных этапа:
1) разработка модели; 2) исследование модели и получение выводов.
Цель математического моделирования: анализ реальных событий и систем математическими методами.
Математическое моделирование для исследования характеристик систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное. ММодели делятся на имитационные и аналитические.
Модель физический или абстрактный объект, свойства которого в определенном смысле сходны со свойствами исследуемого объекта. При этом требования к модели определяются решаемой задачей и имеющимися средствами. Общие требования к моделям:
1) адекватность – достаточно точное отображение свойств объекта;
2) полнота – предоставление получателю всей необходимой информации
об объекте (исходя из поставленной цели);
3) гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем
диапазоне изменения условий и параметров;
4) трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося
времени и программных средств.
К ММ предъявляется и целый ряд доп. требований:
· вычислимость (возможность ручного или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы).;
· модульность (соответствие конструкций модели структурным составляющим объекта (системы);
· алгоритмизируемость (возможность разработки соответствующих алгоритма и программы, реализующих математическую модель на ЭВМ)
· робастность (характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных данных, способность предугадывать эти погрешности и не допускать их чрезмерного влияния на результат вычислительного эксперимента);
· продуктивность (возможность располагать достаточно достоверными исходными данными. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получаются при использовании математической модели. В противном случае математическая модель будет непродуктивной, и ее применение для анализа конкретного процесса теряет смысл.);
· наглядность.
Свойства ММ
1) универсальности.
2) точности.
3) адекватности и эффективности.
4) экономичности.
5) множественности и единства (одну систему могут описывать много моделей и одна модель может описывать много систем)
6) достаточной простоты
7) устойчивости
10 вопрос. Этапы создания математической модели
Процесс построения моделей
1. Конструирование модели (1. Описание объекта. 2. Цель исслед 3. предположения)
2. Завершение идеализации объекта. (отброс неважных факторов Формулируются основные вопросы о поведении системы, ответы на которые мы хотим получить с помощью модели.)
3. выбор и формулировка закона, которому подчиняется объект и его запись в мат форме. (Из множества законов, управляющих поведением системы, учитываются те, влияние которых существенно при поиске ответов на поставленные вопросы.)
4. «оснащение» модели. Ввод сведений о начальном состоянии объекта+ввод показателей
5. формулир цель исследования модели
6. Анализ построенной модели. (теор.анализ. вычислительные методы)
7. Получение результатов. Достижение поставленной цели. Проверка на «адекватность» модели..
Существуют различные модели, используемые для описания сложных систем, такие как дескриптивные (описательные), описывающие происходящие в системе процессы; - оптимизационные, управляющие процессом, т. е. принимающие те или иные решения; - многокритериальные, рассматривающие систему по многим критериям; - игровые, пригодные для исследования и рассматривающие конфликтные ситуации; - имитационные, максимально использующие имеющуюся информацию о поведении системы.
12. Абстрагирование в математике. Понятие математического абстрагирования.
на примере геометрии. для лучшего понимания пространственных свойств исследователь вынужден временно абстрагироваться от всех их других свойств, кроме геометрических. Понятие геометрического тела представляет крайне односторонний снимок с действительности. особенность математической абстракции: абстрагирование здесь чаще всего осуществляется через ряд последовательных ступеней обобщения. Поэтому в математике преобладают абстракции от абстракций. Это дает возможность отвлекаться от конкретных чисел и обеспечивало возможность доказывать теоремы в общем виде.
Еще более отчетливо аналогичные этапы абстрагирования можно выделить при рассмотрении функции
Третья особенность математической абстракции состоит в значительном использовании так называемых идеальных объектов. Уже «точка», «прямая», «плоскость»
Использование различных абстракций осуществимости составляет четвертую важную особенность математического познания. В частности, эти абстракции осуществимости ведут к разным понятиям бесконечности, которые в свою очередь порождают различные философские направления, такие как интуиционизм, конструктивизм и т. Д
Пятая важная особенность, непосредственно связанная с предыдущими, состоит в том, что многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта и практики или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту. Действительно, в математике повсюду оперируют одними лишь абстракциями, т. е. обращаемся прежде всего к логике, а не к эксперименту
13. Виды математических абстракций: абстракция отождествления, идеализации, абстракции потенциальной осуществимости.
абстракция отождествления, когда у предметов некоторого класса выделяется определенное общее свойство, а от всех других свойств отвлекаются. Относительно выделенного общего свойства все предметы соответствующего класса являются тождественными, и поэтому оно может быть абстрагировано, или отделено от других свойств. В результате этого образуются особые понятия, например, такие, как тяжесть, стоимость и число.
Абстракция отождествления — способ формирования общих абстрактных понятий, состоящий в том, что при рассмотрении каких-либо реальных, осязаемых исходных объектов принимаются во внимание лишь те их различия, которые по тем или иным причинам оказываются для нас существенными, и игнорируются другие — несущественные. Объекты, различающиеся лишь несущественным образом, начинают считать одинаковыми
Для изолирующей абстракции характерно отвлечение некоторых свойств и отношений изучаемых предметов и рассмотрение их как индивидуальных, самостоятельных объектов, как, например, белизна, яркость, доброта, дружба. Во всех этих примерах конкретное свойство, присущее реальным предметам, рассматривается как самостоятельный абстрактный объект.
В абстракции потенциальной осуществимости отвлекаются от реальной возможности построения тех или иных математических объектов и допускают осуществимость построения следующего объекта при наличии достаточного времени, пространства и материалов. Например, вслед за данным натуральным числом N допускается возможность построения, следующего за ним натурального числа N + 1. На этой основе образуется, во-первых, абстракция и соответственно понятие потенциальной бесконечности, а именно потенциальная возможность построения в неограниченном ряду следующего объекта, если задан предыдущий объект.
Сущность абстракции актуальной бесконечности состоит в отвлечении от незавершенности и незавершимости процесса образования бесконечногоnмножества, от невозможности задать такое множество посредством полного перечисления его элементов. Согласно абстракции актуальной бесконечности, в бесконечном множестве можно выделить (индивидуализировать) каждый его элемент. Понятие актуальной бесконечности возникает с помощью процесса идеализации. В данном случае идеализация дает возможность применять к бесконечным множествам простой и хорошо изученный аппарат классической логики. Идеализированный характер актуальной бесконечности состоит в том, что о бесконечном множестве рассуждают по аналогии с конечными множествами. Кроме того, здесь абстрагируются от конкретных способов построения элементов бесконечного множества и даже допускают, что все его элементы существуют одновременно, а не возникают в процессе построения.
