Тема 1.1. Понятие предела числовой последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность { a_n }:

a ₁, a ₂, …, a_n, ….

Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: a_n = f (n).

Числа a ₁, a ₂, …, a_n называются членами последовательности, а число a_n – общим членом или n -м членом данной последовательности

Пример числовой последовательности: 2,4,6,8……2n.

Бесконечная числовая последовательность – числовая функция, определенная на множестве N натуральных чисел.

Последовательность { a_n } называется убывающей (возрастающей), если каждый ее член, начиная со второго больше (меньше предыдущего), т.е. a_{n +1}> a_n (a_{n +1}< a_n).

Последовательность ограничена сверху, если $ М: a_n £ М

Последовательность ограничена сверху, если $ m: a_n ³ m

Последовательность ограничена $ М, m: m £ a_n £ М,

M, m – верхняя и нижняя границы последовательности.

Определение. Число A называется пределом числовой последовательности а_n, если для сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такой номер N (зависящий от ε, N = N (ε)), что для всех членов последовательности с номерами n > N верно неравенство:

Предел числовой последовательности обозначается или а_n→A при n→∞. Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Определение предела запишем на математическом языке, используя квантор общности (Ɐ) и квантор существования ()