Тема 1.2. Понятие предела функции на бесконечности и в точке

Предел функции на бесконечности

Определение. Число A называется пределом функции f (x) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такое положительное число d>0 (зависящее от ε, d=d(ε)), что для всех x, таких что , верно неравенство

Предел функции обозначается или f (x) →A при x→∞.

Геометрический смысл предела функции на бесконечности.

Неравенство равносильно двойному неравенству , соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2ε (см. рис. 1).

Рисунок 1 – Геометрический смысл предела функции на бесконечности

Предел функции в точке

Пусть функция у=f(x) определена в некоторой части окрестности точки х ₀, за исключением, быть может самой точки х ₀.

Определение. Число A называется пределом функции f (x) при x, стремящемся к х ₀, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такое положительное число d>0 (зависящее от ε, d=d (ε)), что для всех x не равных х ₀и удовлетворяющих условию выполняется неравенство