Геометрический смысл предела функции в точке

Неравенство равносильно двойному неравенству , соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2ε (см. рис. 2). Аналогично неравенство равносильно двойному неравенству соответствующему попаданию точек х в δ -окрестность точки х ₀.

 

Рисунок 2 – Геометрический смысл предела функции в точке

 

Тема 1.3. Односторонние пределы

 

В определении предела функции считается, что x стремится к х ₀любым способом: оставаясь меньшим, чем х ₀ (слева от х ₀), большим, чем х ₀(справа от х ₀), или колеблясь около точки х ₀.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х ₀существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Определение: Число А₁ называется пределом функции у=f(x) слева в точке х ₀, если для любого число ε>0 существует число d=d (ε)>0, такое, что при , выполняется неравенство .

Предел слева записывается так: или f (x ₀ – 0)=A₁.

Аналогично определяется предел функции справа:

Определение: Число А₂ называется пределом функции у=f(x) спарава в точке х ₀, если для любого число ε>0 существует число d=d (ε)>0, такое, что при , выполняется неравенство .

Предел справа записывается так: или f (x ₀ + 0)=A₂.

 

Теоремы о пределах

 

1. Если существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует предел их суммы, равный сумме пределов функций f (x) и g (x)

 

 

2. Если существуют пределы функций f (x) и g (x),то существует предел их произведения, равный произведению пределов функций f (x) и g (x)

 

 

3. Если существуют пределы функций f (x) и g (x)и предел функции g (x) не равен нулю, то существует предел их отношения, равный отношению пределов функций f (x) и g (x)

Следствие:

 

1)

2)

Замечание:

 

Пример1.

Пример2.

Пример3. . Получили неопределенность типа 0\0. Чтобы от нее избавиться необходимо, преобразовать числитель и знаменатель выражения. Данные выражения представляют собой квадратные многочлены, поэтому, пользуясь формулой разложения квадратного многочлена на множители, разложим на множители числитель и знаменатель.

Замечание: При решении примеров на нахождение пределов не редко могут встретиться неопределенности вида:

 

Для того, чтобы избавиться от таких неопределенностей выражение под знаком предела обычно преобразуют. Если выражение дробь, в числителе и в знаменатели которой находятся многочлены, то их раскладывают на множители. Если содержится выражение содержащее знак корня, то числитель и знаменатель домнажают на сопряженное число. Если выражение содержит разность или сумму дробей, то оно приводится к общему знаменателю.

 

Пример 4. Вычислить:

При решении воспользовались формулой