Теорема об умножении вероятностей

События могут быть независимыми и зависимыми. Событие А называют независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Понятие зависимости и независимости событий можно наглядно показать наследующих примерах.

1) Предположим, что опыт состоит в бросании двух монет, при этом рассматривают следующие события: событие А — появление герба на первой монете и событие В — появление герба на второй монете. В этом случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет, следовательно, событие А независимо от события В.

2) Пусть в урне имеется два белых и один черный шар. Два человека вынимают из урны по одному шару, при этом рассматриваются следующие события: событие А — появление белого шара у первого человека и событие В — появление белого шара у второго человека. Вероятность события А до того, как станет известно что-либо о событии В, равна 2/3. Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной 1/2, т.е. событие А зависит от события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в одновременном появлении этих событий.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р (А/В). Для условий примера Р (А) = 2/3, Р (А/В) = 1/2.

Теорема умножения вероятностей: вероятность произведения двух событийравна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место, т. е.

Р(АВ) = Р(В)´Р(А|В) (1.24)

Очевидно, что при применении теоремы умножения безразлично, какое из событий — А или В — считать первым, а какое вторым, и теорему можно записать так: два события называют независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляют при условии, что все предыдущие имели место:

Р(А₁А₂...А_m) = Р(А₁)´ Р(A₂|А₁))´Р(A₃|А₁A₂))´…´Р(A_m|А₁A₂…A_m-1) (1.25)

В случае независимых событий теорема умножения упрощается к виду

(1.26)

т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Применяя знак произведения, теорему можно записать так:

Пример 1.4. Устройство состоит из пяти приборов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного прибора приводит к отказу устройства. За время t вероятность безотказной работы каждого из приборов соответственно равна P ₁(t)=0,95; P ₂(t)=0,99; P ₃(t)=0,98; P ₄(t)=0,90; P ₅(t)=0,93. Найти надежность устройства за время работы t.

Решение.

Введем обозначения вероятностей безотказной работы первого—пятого приборов: А ₁ —А ₅.

Имеем: А = А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ А ₅.

По формуле умножения для независимых событий (1.26) получим:

Р(А)=Р(А ₁ )·Р(А ₂ ) Р(А ₃ ) Р(А ₄ ) Р(А ₅)=0,95 · 0,99 · 0,98 · 0,90 · 0,93=0,76.