Формула полной вероятности. Следствием обеих основных теорем — теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей — является формула полной вероятности

Следствием обеих основных теорем — теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей — является формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий: Н ₁, Н ₂, ..., Н _n, образующих полную группу несовместных событий, называемых гипотезами. В этом случае вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

(1.28)

Формулу (1.28) называют формулой полной вероятности.

В практике применения теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются многократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов. Например, если производится группа выстрелов по одной и той же цели, то нас интересует не результат каждого выстрела, а общее число попаданий.

Если проводят n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то вероятность того, что событие появится ровно т раз, выражается формулой Бернулли

(1.29)

где q = 1 – p;

Пример 1.5. При прокатке фасонных профилей было зафиксировано десять случаев брака (m = 10) из пятисот прокатных заготовок (n = 500).

Определить вероятность того, что при прокатке ста профилей будет ровно четыре брака, если считать, что все прокатки независимы и вероятность брака при каждой прокатке одинакова.

Решение.

Найдем вероятность брака при одной прокатке по формуле

Р = m / n = 10/500 = 0,02.

Далее по формуле (1.29) найдем вероятность появления четырех случаев брака при прокатке 100 заготовок