События могут быть совместными и несовместными. Два события называют несовместными, если в результате опыта они не могут появиться одновременно. И наоборот, события считаются совместными, если они появляются одновременно в результате такого опыта.
Теорема сложения вероятностей формулируется: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
Р (А+В) = Р (А) + Р (В) (1.13)
Для произвольного числа несовместных событий будем иметь
P (A 1 +A 2 +…+A n) =P (A 1) +P (A 2) +…+P (A n). (1.14)
Более удобная запись теоремы сложения:
(1.15)
Если события А 1, А 2,..., Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:
(1.16)
Противоположными событиями называют два несовместных события; они образуют полную группу, сумма вероятностей которых равна единице:
(1.17)
где `A - событие, противоположное событию А.
Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна
Р (А+В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ). (1.18)
Аналогично вероятность суммы трех совместных событий
|
|
Р (А+В + C) = Р (А) +Р (В)+ Р (С) -Р (АВ) -Р (АС) -Р (ВС) +Р (АВС). (1.19)
Вероятность суммы любого числа совместных событий определяется
выражением
(1.20)
Аналогично приведенным выше формулам можно написать
- для произведения двух событий:
Р (АВ) =Р (А) +Р (В) -Р (А+В); (1.21)
- для произведения трех событий:
Р (АВС) =Р (А) +Р (В) +Р (С) -Р (А +В) -Р (А+С) -Р (В+С) +Р (А + В + С). (1.22)
Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числа событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д., имеет вид:
(1.23)
Формулы (1.20) и (1.23) находят практическое применение при преобразовании различных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В зависимости от специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает использовать только суммы, а в других только произведения событий.
Пример 1.3. Техническое устройство состоит из трех элементов А 1, А 2 и В. Элементы А 1 и А 2 дублируют друг друга, поэтому при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Элемент В не дублирован. Устройство прекращает работу в том случае, когда отказывают оба элемента А 1 и А 2 или отказывает элемент В. Таким образом, отказ устройства можно представить в виде события С = А 1 А 2 + В, где событие А 1 является отказом элемента А 1, А 2 — отказом элемента А 2 и В — отказом элемента В. Выразить вероятность события С через вероятности событий, содержащих только суммы.
Решение.
В соответствии с формулой (1.18) имеем
Р (С) = Р (А 1 А 2) + Р (В) - Р (А 1 А 2 В).
Используя формулу (1.21), определим
Р (А 1 А 2) = Р (А 1) + Р (А 2) - Р (А 1+ А 2).
Далее, применяя формулу (1.22), получим
|
|
Р (А 1 А 2 В) = Р (А 1) +Р (А 2) +Р (В) - Р (А 1+ А 2) - Р (А 1 +В) – Р (А 2 +В) + Р (А 1+ А 2+ В).
Подставляя полученные выражения и сокращая, находим
Р (С) = Р (А 1 +В) + Р (А 2 +В) - Р (А 1+ А 2+ В).