double arrow

Теорема о сложении вероятностей

 

События могут быть совместными и несовместными. Два события называют несовместными, если в результате опыта они не могут появиться одновременно. И наоборот, события считаются совместными, если они появляются одновременно в результате такого опыта.

Теорема сложения вероятностей формулируется: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Р (А+В) = Р (А) + Р (В) (1.13)

Для произвольного числа несовместных событий будем иметь

P (A 1 +A 2 +…+A n) =P (A 1) +P (A 2) +…+P (A n). (1.14)

Более удобная запись теоремы сложения:

(1.15)

Если события А 1, А 2,..., Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

(1.16)

Противоположными событиями называют два несовместных события; они образуют полную группу, сумма вероятностей которых равна единице:

(1.17)

где `A - событие, противоположное событию А.

Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна

Р (А+В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ). (1.18)

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий

Р (А+В + C) = Р (А) (В)+ Р (С) (АВ) (АС) (ВС) (АВС). (1.19)

Вероятность суммы любого числа совместных событий определяется

выражением

(1.20)

Аналогично приведенным выше формулам можно написать

- для произведения двух событий:

Р (АВ) (А) (В) (А+В); (1.21)

- для произведения трех событий:

Р (АВС) (А) (В) (С) (А +В) (А+С) (В+С) (А + В + С). (1.22)

Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числа событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д., имеет вид:

(1.23)

Формулы (1.20) и (1.23) находят практическое применение при преобразовании различных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В зависимости от специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает использовать только суммы, а в других только произведения событий.

Пример 1.3. Техническое устройство состоит из трех элементов А 1, А 2 и В. Элементы А 1 и А 2 дублируют друг друга, поэтому при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Элемент В не дублирован. Устройство прекращает работу в том случае, когда отказывают оба элемента А 1 и А 2 или отказывает элемент В. Таким образом, отказ устройства можно представить в виде события С = А 1 А 2 + В, где событие А 1 является отказом элемента А 1, А 2 отказом элемента А 2 и В — отказом элемента В. Выразить вероятность события С через вероятности событий, содержащих только суммы.

Решение.

В соответствии с формулой (1.18) имеем

Р (С) = Р (А 1 А 2) + Р (В) - Р (А 1 А 2 В).

Используя формулу (1.21), определим

Р (А 1 А 2) = Р (А 1) + Р (А 2) - Р (А 1+ А 2).

Далее, применяя формулу (1.22), получим

Р (А 1 А 2 В) = Р (А 1) (А 2) (В) - Р (А 1+ А 2) - Р (А 1 ) – Р (А 2 ) + Р (А 1+ А 2+ В).

Подставляя полученные выражения и сокращая, находим

Р (С) = Р (А 1 ) + Р (А 2 ) - Р (А 1+ А 2+ В).

 


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: