Задачи экологического содержания

Каждого человека волнует состояние окружаю­щей среды, поскольку от нее зависят судьбы чело­вечества. Разумеется, каждый из нас не в состоя­нии отвратить угрозу человеческой цивилизации, но мы не можем не видеть надвигающейся беды и не думать об этом. Ведь экологическая катастро­фа - это не умозрительная картина некоего отда­ленного будущего, а последствия того, что есть в настоящий момент и в гуще чего мы живем.

Отреагировать на окружающее учителя могут самым доступным для них способом. Учителя математики могут предложить своим ученикам задачи, в осно­ву которых положены данные из литературы о при­роде. Решение этих задач заставит учащихся про­никнуться проблемами экологии и не допускать в будущем ошибок, связанных с непродуманным натиском на природу.

Большинство предлагаемых ниже задач относят­ся к курсу пятых-шестых классов. Решения их эле­ментарны, но формулируются они так, как возни­кают на практике, т.е. с недостающими или с из­лишними данными. Эти недостатки или излише­ства могут поставить в тупик ученика, который сталкивается только с задачами из учебника и с по­дозрением относится к тому, что недосказано или «пересказано». Однако в реальности задачи возни-

кают часто или с излишествами, или с недомолв­ками. Нужно уметь добыть недостающие сведения или из опыта, или из периодической печати, или сделать правдоподобные предположения. Не менее трудно отбросить излишества, т.е. решить, что имен­но лишнее. Правильный вывод об этом требует «почти решения», т.е. мы часто устанавливаем, что было лишним, когда уже нашли ответ. Ну что же, окунемся же и в проблемы экологии, и в трудности поиска простой математической модели. Матема­тические темы, на которых основаны решения, здесь также не указаны, поскольку в реальности никто не подскажет нам, из какой темы надо «взять» теорию.

Задача 1. В Москве с 1982 г. работало два завода, на которых перерабатывалось 200 тыс. м³ мусора в год. Сколько мусора утилизировано ими?

Решение. Не хватает сведений о том, какой период времени нас интересует. Естественно пред­положить, что статистические данные запаздыва­ют лет на 5—10, поэтому мы можем судить о состо­янии промышленности, скорей всего, до 2000 г. За 18 лет (2000-1982) было переработано

200000 • 18 = 3600000 (м³ мусора).

Указанное в задаче число заводов оказалось из­лишним.

Задача 2. В палаточном лагере на площади в 1 га за 3 месяца отдыхают 10 тыс. туристов. За сутки один невоспитанный турист может: 1) сжечь 1 м³ древесины; 2) оставить на дереве автограф площа­дью 1дм²; 3) сломать до 10 молодых деревьев. Какой вред могут принести лесу 10 тыс. невоспи­танных туристов?

Р е ш е н и е. Из текста ясно, что автор задачи счи­тает всех туристов невоспитанными, а все месяцы одинаковыми по числу дней — 30. За 90 дней 10 тыс. человек могли бы сжечь 900000 м³ леса, «укра­сить» своими подписями 900 000 дм² = 9000 м² коры деревьев, сломать 9000000 молодых деревьев.

И все эти бесчинства будут проделаны только на одном гектаре леса. Впрочем, для решения данные о площади леса оказались ненужными. Они несут только эмоциональную нагрузку. А почему говорит­ся только о трех месяцах, почему не о 12 месяцах года? Потому, что туристический сезон в наших холодных краях длится только 3 месяца.

Задача 3. Из тысячи частей воды, поглощенной деревом, лишь около двух частей усваиваются им в процессе питания. Береза поглощает в день 75 л воды, липа — 200 л. Сколько воды в день идет на питание березы, липы? Какие экологические вы­воды можно сделать по этим данным?

Решени е. Если соотношение поглощенной воды к полезной указано в тысячных долях, то луч­ше всего литры перевести в граммы, поскольку 1 л = = 1 дм³, что отождествляется с 1 кг воды, т.е. с 1000 г воды. Итак, 75 л воды - это 75 000 г, а 200 л воды — это 200000 г. Из них березе понадобится

75 000: 1000 • 2 = 150 (г),

200 000: 1000-2 = 400 (г).

Отсюда следует, что для полива дерева совсем не нужно много воды, но она должна поступать регу­лярно. Существуют страны, где в засушливом кли­мате выращены целые леса, но к каждому дереву там подведен маленький кран, из которого нето­ропливо капает вода.

Задача 4. Аральское море в год недополучает воды: из Амударьи более 60 млрд км³ и из Сыр-дарьи — более 40 млрд км³. Эта вода направляется из этих рек на орошение земель. В 1986 г. ученые подсчитали, что сохранись такие темпы расходова­ния воды к 2000 г., от этого крупнейшего водоема осталась бы только десятая часть. Каков объем воды был в Аральском море в 1986 г.?

Решение. Из контекста ясно, что Аральское море все же получает какое-то количество воды, но его недостаточно, чтобы компенсировать в нем ту воду, что уходит на испарение, на другие техниче­ские нужды людей, помимо орошения.

За год Аральское море не получает 40 + 60 = = 100 (млрд км³) воды, за 14 лет — 1400 (млрд км³), что составляет 0,9 частей объема воды. Значит, объем воды в Аральском море в 1986 г. был равен 1400: 0,9 ~ 1555 (млрд км³).

Задача 5. На Земле становится обычным руко­творный «лунный пейзаж». В округе Белмонт (США), площадь которого 137 тыс. га, занято ка­рьерами и отвалами 80 тыс. га. Сколько пшеницы можно было бы собрать с этой площади при уро­жайности 30 ц с гектара?

Решение. Выполнив умножение 30 ■ 80000, получим 2400000 ц пшеницы, которую можно было бы получить на месте «лунного пейзажа».

Но вот данные о площади всего округа Белмонт явно излишни. Они носят эмоциональный харак­тер, показывая, что горно-рудная промышленность округа заняла более половины его площади.

Задача 6. Одна тонна металлолома позволяет сэкономить 2 т руды и 1,3 т угля. В 1987 г. уче­ники нашей школы собрали 8 т металлолома. Сколько руды и угля сэкономили ученики нашей школы?

Решение. Выполнив умножения 2-8 и 1,3 • 8, получим, что сэкономлено 16 т руды и 10,4 т угля.

Задача 7. В знаменитой роще под С.-Петербур­гом лиственница дает ежегодный прирост древеси­ны 11 куб. м на каждом гектаре. В соседнем лес­ном массиве прирост составляет 4,35 куб. м. В каждой роще запас древесины равен 200 куб. м на 1 га. Деревья какого массива производительней? Во сколько раз? Какие технические преимущества имеет лиственница перед другими деревьями?

Решение. Более производительным назовем то дерево, у которого отношение прироста древесины к общему его запасу больше. Будем считать, что в знаменитой роще одни лиственницы, а в другом лесном массиве лиственниц нет. Тогда у листвен­ницы отношение объема прироста древесины к общему запасу древесины равно 11: 200 = 0,055, а у других деревьев это отношение 4,35: 200 = 0,0217. Выходит, что лиственница производительней дру­гих деревьев в 2,5 раза (0,055: 0,0217 - 2,5).

Лиственница не только растет быстрей других деревьев, но и имеет древесину, устойчивую про­тив гниения. К тому же эта древесина очень проч­ная. Так, предел прочности вдоль волокон при сжатии у лиственницы такой же, как у дуба, около 520 г/см². Но дуб растет значительно медленней.

Задача 8. Сегодня в распоряжении человечества находится 11 млрд га пахотной земли, которая может прокормить 47 млрд человек. Сколько че­ловек кормит 1 га пахотной земли?

Решение. Выполним деление 47: 11= 4,27. Получается, что на 1 га приходится немногим более 4 человек.

Но вопрос задачи не точен. Не сказано, к какому периоду времени приходятся наши расчеты. Одна­ко, если учесть, что в большинстве стран мира сни­мают только один урожай в год, придется заклю­чить, что 1 га кормит четырех человек 1 год.

Задача 9. По мнению ученых, увеличение жилой площади до 9 кв. м на человека вдвое снижает количество сердечно-сосудистых и нервных забо­леваний. В России примерно 150 млн человек. В каждой семье приблизительно 3,6 человек. Жилищ­ные условия каждой третьей семьи ниже нормы. В каждой такой семье есть по 1 больному человеку. Насколько снизилось бы количество сердечно-со­судистых и нервных заболеваний в этих семьях, если бы их жилая площадь увеличилась до 9 м² на человека?

Решение. В России приблизительно 41,6 млн семей (150000000:3,6 = 41600000). В условиях ниже нормы живут 13,8 млн семей и, значит, столь­ко же больных людей. При улучшении жилищных условий число больных уменьшилось бы вдвое, т.е. на 6,9 млн человек.

Данные о 9 м² на человека для решения задачи совершенно излишни. Но они позволяют судить о том, какие именно условия надо создать каждой отдельной семье.

Задача 10. Образование плодородного гумусово­го горизонта мощностью 20 см происходит в тече­ние двухтысячелетий. При ускоренной эрозии (под влиянием деятельности человека) разрушение это-го слоя,.может произойти за Шлет. Во сколько раз скорость разрушения гумусового слоя больше ско­рости его образования?

Решение.В год образуется 20: 2000 = 0,01 (см) гумусового слоя, а разрушается 20: 10 = 2 (см). Скорость разрушения превышает скорость накоп­ления в 200 раз (2: 0,01 = 200).

Задача 11. В 1966 г. оборотное водоснабжение нашей страны (когда в промышленность направля­ется уже ранее использованная и очищенная вода) составляло 65 тыс. м\ а в 1970 г. оно было доведено до 98,2 тыс. м³. На сколько процентов увеличилось оборотное водоснабжение в нашей стране?

Решение. Увеличение объема оборотного во­доснабжения достигло 33,2 м³, что составляет 51,1% от уровня 1966 г.

Задача 12. С 1600 г. на Земле вымерло 94 вида птиц. Из них гибель 86% птиц связана с деятель­ностью человека. Сколько примерно видов птиц погибло по вине человека?

Решение. 94: 100 • 86 = 80,8» 80 видов птиц.

Округление в меньшую сторону связано с тем, что количество видов птиц выражается целым чис­лом, причем число видов нельзя увеличить на 0,2.

Задача 13. США ежегодно выбрасывают в атмо­сферу более 200 млн т вредных веществ. Из них более 40% происходит по вине транспорта, глав­ным образом автомобилей. Сколько тонн вредных веществ выбрасывается в атмосферу транспортны­ми средствами США?

Решение. 200: 100 • 40 = 80 (млн т).

США более других стран загрязняют атмосферу Земли, а вот траты на очистку атмосферы стремят­ся разделить поровну между всеми развитыми го­сударствами.

Задача 14. В реку Чусовую и ее притоки поступа­ют промышленные и бытовые сточные воды из пяти населенных пунктов. В 1993 г. из этих пунктов было сброшено свыше 90 млн куб. м сточных вод. Из них загрязненных — 47 млн куб. м. Какой процент сточных вод составляли загрязненные?

Решение. 47: 90 • 100% = 52%.

Число населенных пунктов, загрязняющих реку, в данной задаче совершенно излишне. Такие све­дения употребляются обычно в газетах и являются попыткой призвать к ответственности администра­цию поселков.

Задача 15. В порах трещин горных пород дви­жутся подземные воды, содержащие почти весь набор химических элементов таблицы Менделеева. В каждом литре такой воды почти 50 г железа и более 100 г серы. Ресурсы таких вод на Земле оцениваются в 23,4 км³. Сколько железа в этой воде?

Решение. Представим сначала данные в лит­рах; 23,4 км³ = 23,4 • 10¹² дм³ = 23,4 • 10¹² л воды. Теперь посчитаем массу железа в этой воде: 50 * 23,4 • 10¹² (г) = 117 • 10¹³ (г) = 1,17 • 10¹⁵ (т).

Указание на количество серы для решения по­ставленного вопроса не имеет значения. Упоми­нание о таблице Менделеева тоже излишне. Но когда задача рождается, трудно бывает отделить нужное от ненужного, к тому же упоминание о богатствах горной воды несет большой эмоцио­нальный заряд.

Задача 16. Растительность с помощью фотосин­теза «запасает» 10¹⁷ из 10²⁰ килокалорий энергии, получаемой Землей ежегодно. Какую часть солнеч­ной энергии «запасают» растения?

Решение. 10¹⁷: 10²⁰ = 0,001.

Кажется, что немного. Но уточним, что этот за­пас сделан только в 1 год. А растительность на Земле существует уже миллионы лет. И столько же лет растения копят свои запасы. Вот чем и объясняет­ся энергетическая ценность биологического топли­ва — дров, угля, нефти, газа.

Задача 17. Город Екатеринбург с населением свыше 1 млн человек занимает площадь около 20 тыс. га. За 1 год такая территория при хорошем озеленении производит в среднем 25 тыс. т кисло­рода. Однако для обеспечения здоровья горожан требуется не менее 10 млн т кислорода. Во сколь­ко раз нужно увеличить площадь зеленых насажде­ний, чтобы получить для города необходимый объ­ем кислорода?

Решение. 10 000 000: 25 000 = 400 (раз).

Указания на площадь города, на число его жите­лей совершенно бесполезны для решения задачи. Большое число данных запутывает решающего, ему трудно сразу понять, что именно надо отбросить, а, следовательно, эта задача — хорошая тренировка в создании полезных математических моделей.

Задача 18. В окрестностях Тюмени, Омска и Томска уже к 30-м гг. XX в. строевой лес был вы­рублен в радиусе 30—40 км. Какова площадь вы­рубленных лесов в окрестности каждого из этих городов?

Решение. Поскольку данные приблизительные, естественно выбрать их среднее арифметическое, т.е. считать, что радиус вырубки в каждом случае равен 35 км. По формуле площади находим: 3,14 • 35² = 3846,5 (км²).

Заметим попутно, что в условиях Сибири дере­вья растут очень медленно, так что спешить там с вырубками — значит оставлять без свежего воздуха большие массы людей.

Задача 19. «В 79 г. н. э. произошло сильное из­вержение вулкана Везувий. В результате ближай­шие города Помпея и Геркуланум были погребены под пеплом. Только в XVIII в. был раскопан Герку­ланум под 20-метровой толщей наносов. Опусто­шения вокруг Везувия произошли в радиусе до 18 км на площади свыше 310 км²». Так писала о древней трагедии одна из газет. Определите ошибку в расчетах площади.

Решение. Вычислим площадь опустошений как площадь S круга радиусом 18 км:

S= 3,14- 18² = 1017,36 км². Значит, в заметке ошиблись на

1017,36 - 310 = 707,36 (км²).

Как видим, ошибка весьма существенна. Или радиус разрушений указали неверно, или площадь посчитали неправильно.

Подчеркнем, что эти города в древности были довольно известны, но нашли их очень поздно. Трудно предположить, что погибшие города никто не искал. Напрашивается предположение, что еще в древности или ошиблись с ориентирами, или площадь поисков неправильно определяли.

 

Литература.

1. М. В. Лурье, Б. И. Александров. Задачи на составление уравнений – М.: Наука, 1976.

2. М. А. Куканов. Математика 9 – 11 классы. Моделирование в решении задач. – Волгоград: Учитель, 2009.

3. И.М. Шапиро. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики.- Москва. Просвещение, 1990.

4. Алёшина Т.Н. «Учебные задачи по математике для 5-9 классов»- Москва. Просвещение, 1986.

5. Ю.Ф. Фоминых «Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов».Москва. Просвещение, 1999.

6. И. К. Варшавский. «Текстовые задачи на ЕГЭ». Журнал «Математика в школе» 2006 №1.

7. Ф. Г. Маникова «Задачи экологического содержания».Журнал «Математика вшколе» 2005 №4.

8. Г. Мусорина «Процент – О! Мания!». Газета «Математика» 2007 №14.