Задачи на проценты и смеси

Решение: Пусть первоначально в банке находилось S тыс. руб. Ясно, что S >15. Тогда относительный прирост за месяц составил 15 / S. После добавления в банке оказалась сумма S+100 тысяч рублей.

И по истечению второго срока сумма вклада вместе с процентами составила тысяч рублей, что по условию задачи равно 420 тыс. руб. Откуда получаем уравнение Далее, после простейших преобразований, имеем Откуда, т.к. S > 15, получаем S = 300.

Ответ: 300 тыс. руб.

Решение: Проследим схему изменения содержания кислоты в растворе. Первоначально в баке находилось

729 л кислоты. Отлили а л кислоты, после чего осталось л кислоты. После добавления воды доля кислоты составила . При повторении процедуры, отлили л кислоты, при этом осталось л кислоты.После следующего добавления воды доля кислоты составила , а следовательно, после ещё одного повторения кислоты останется л.

Аналогично после повторения процедуры 6 раз в баке останется л кислоты, что составляет 64 л. Таким образом, приходим к уравнению Откуда, после очевидных преобразований, получаем a = 243 л.

Ответ: a = 243 л.

Решение: Пусть x рублей – первоначальная цена, y рублей – сумма, подлежащая выплате клиенту магазина.

Тогда процент предполагаемой прибыли составляет . Однако первоначальная цена была снижена на 12 % и составила 0,88x рублей, при этом магазин получил прибыль 0,88x-y рублей, т.е. процентов прибыли, что по условию задачи равно 10 %. Откуда следует уравнение Таким образом, магазин предполагал получить прибыль 25 %.

Ответ: 25 %.

Решение: Пусть для выплаты зарплаты требуется x– рублей, а затраты на оборудование составляют y – рублей, тогда в фонд социального страхования необходимо выплатить 0,38х рублей.

Условия задачи	Уравнения
Для того чтобы выплатить зарплату, 38% от зарплаты в фонд социального страхования, закупить оборудование и выплатить 20% от указанных затрат налог государству, предприятию требуется 20160 рублей
Если бы заработную плату увеличить на 10 %, а затраты на оборудование увеличить вдвое, то потребуется 25416 рублей

Итак, приходим к системе уравнений

Ответ: зарплаты выплачивается 10 000 руб., затраты на оборудование 3000 рублей.

Пример №5.

Имеются два сплава меди с разным содержанием меди. Число, выражающее в процентах содержания меди в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах содержания мели во втором сплаве. Оба эти сплава сплавили вместе, после чего содержание меди составило 36%. Определите процентное содержание меди в первом и во втором сплавах, если известно, что в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором 12кг.

Решение:

1) 18/0,36 = 50 (кг) – масса смеси сплавов

Пусть у кг – масса первого сплава

Х % - процентное содержание меди во втором сплаве

(х – 40) % - процентное содержание меди в первом сплаве.

(50 – у) кг – масса второго сплава

По условию задачи масса меди во втором сплаве 12 кг

Составим уравнение:

12

50-у = 0,01х

Масса меди в первом сплаве равна 6 кг

Составим уравнение:

6

у = 0,01 (х – 40)

Составим систему уравнений:

6

у = 0,01 (х – 40),

12

50 – у = 0,01х;

600 = у (х – 40),

1200 = х * (50 – у),

у = 0, у = 50;

600 = ху – 40у,

1200 = 50х – ху;

600 + 40у,

х = у

1200

х = 50-у.

600 + 40у 1200

у = 50-у;

(600+40у) * (50-у) = 1200у

30 000 – 600у + 2000у – 40у² - 1200у = 0

- 40у² + 200у + 30 000 = 0

у² – 5у – 750 = 0

Д = 5² + 4 * 750 = 25 + 3000 = 3025

5+55-50

у_{1 =} 2 = 30 или у₂ = 2 = -25 меньше 0

-25 – не удовлетворяет условию задачи.

30кг – масса первого сплава

6

30= 0,2 = 20% - процентное содержание меди в первом сплаве

20% + 40% = 60% - процентное содержание меди во втором сплаве.

Ответ: 20%; 60%.

Пример №6

Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12кг, содержащей 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение:

1) 12 * 0,45 = 5,4 (кг) - масса меди в сплаве.

2) 12 – 5,4 = 6,6 (кг) – масса олова в сплаве.

Пусть х кг – чистого олова надо прибавить к сплаву, чтобы получился новый сплав

у кг – масса меди в новом сплаве

(6,6 + х)кг – масса олова в новом сплаве

(12 + х) кг – масса нового сплава

По условию задачи, концентрация меди в новом сплаве равна 40% = 0,4.

Составим систему уравнений:

у

12+х = 0,4,

6,6 + х + у = 12 + х;

у = 0,4 (12+х),

у = 12 + х – х – 6,6.

4,8 + 0,4х = 5,4

0,4х = 0,6

х = 1,5

1,5 кг – чистого олова надо прибавить.

Ответ: 1,5 кг.

Пример№7.

Имеются два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом слитке в 2,5 раза больше, чем процентное содержание золота во втором слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40% золота.

Найдите, во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплаве равных по весу частей первого и второго слитков получается сплав, в котором 35% золота.

Решение:

Пусть

х кг – масса первого слитка, тогда

kx – масса второго слитка

у % - процентное содержание золота в 1-ом слитке

0,4 у% - процентное содержание золота во втором слитке

ху – масса золота в первом слитке

0,4хуk – масса золота во 2-м слитке

(х + у + 0,4 хуk) – масса золота в первом сплаве,

х + kx – масса первого сплава

По условию задачи, концентрация золота в первом сплаве равна 40 %.

Составим первое уравнение системы

ху + 0,4 хуk

х + kx = 40

Пусть m – масса 1-го и 2-го слитков второго сплава

2m – масса второго сплава

my- масса золота в первом слитке

0,4 my – масса золота во втором слитке

(my + 0.4my) – масса золота во втором сплаве.

По условию задачи концентрация во втором сплаве равна 35%

Составим второе уравнение системы

my + 0,4 my

2m = 35

составим и решим систему уравнений:

ху + 0,4 хуk

х+ kx = 40,

my + 0,4 my

2m = 35;

y + 0.4 yk = 40 + 40k,

1.4 = 70

m = 0, k = 0, x= 0;

у = 50,

50 + 0,4 * 50 k = 40 + 40k;

y = 50,

20k = 10;

y = 50,

k = ½.

Итак, 1-й слиток в 2 раза тяжелее второго.

Ответ: в 2 раза.

Пример №8

Смешали 30% соляной кислоты с 10% и получили 600г 15% раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение

Пусть х г – масса 30% раствора соляной кислоты

(600 – х) г – масса 10% раствора соляной кислоты

0,3х – масса соляной кислоты в 30% растворе

0,1 * (600 – х) г – масса соляной кислоты в 10% растворе

0,3х + 0,1 * (600 – х) = 0,2 х + 60 г – масса соляной кислоты в смеси

По условию задачи, концентрация смеси равна 15% = 0,15

Составим уравнение:

60 + 0,2 х

600 = 0,15

0,2х + 60 = 90;

0,2х =30;

х = 150.

150г – масса 30% раствора соляной кислоты

600 – 150 = 450 (г) – масса 10% раствора соляной кислоты.

Ответ: 150г и 450г.

Пример№9.

Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

Решение:

Найдем массу соли в 30 кг морской воды

30 * 0,05 = 1,5 (кг)

Пусть х кг – масса пресной воды,

(30 + х) кг – масса морской воды после добавления пресной

1,5

30+х - концентрация соли в морской воде после добавления пресной воды

По условию, концентрация соли в воде после добавления пресной воды стала 1,5% = 0,015

Составим уравнение:

1,5 0,015 * (30 + х) = 1,5;

30+х = 0,015 30 + х = 0. х=70.

Итак, 70 кг пресной воды надо добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%

Ответ: 70кг.

Задания для самостоятельной работы.

Задание 1. На одной котельной запасено на зиму в 3 раза меньше торфа, чем на второй. Если на первую котельную завезти 680 т топлива, а на вторую 220 т, то торфа на обеих котельных ста­нет поровну. Сколько всего топлива запасено на обеих котельных?

Задание 2. Один из хозяев двух равных по пло­щади смежных участков решил купить у другого 2 га земли. В этом случае площадь участка про­давца будет составлять 3/4 площади участка по­купателя. Какова первоначальная площадь каж­дого участка?

Задание 3. От трех библиотек университета по­ступили заявки на приобретение книг. Стоимость книг в заявке второй библиотеки составляет 50% от заявки первой, а стоимость книг в заявке пер­вой библиотеки — 60% от заявки третьей. Стои­мость книг в заявке третьей библиотеки превы­шает заявку второй на 27 тыс. рублей. Какова общая стоимость книг (в тыс. рублей) в заявках трех библиотек?

Задание 4. В двух залах кинотеатра было 640 мест для зрителей. После замены кресел чис­ло мест в первом зале увеличилось на 20%, во втором — на 15%. Сколько новых кресел устано­вили в первом зале, если общее количество мест в двух залах увеличилось на 180?

Задание 5. При заключении договора с фир­мой на изготовление и установку двух дверей за­казчик заплатил 39 000 рублей. Согласно дого­вору в случае нарушения фирмой сроков достав­ки и монтажа дверей фирма обязуется за каждый просроченный день выплачивать заказчику 1,5% суммы договора. Сроки договора были нарушены фирмой, и она возвратила заказчику 2340 рублей. На сколько дней позже срока были уста­новлены двери?

Задание 6. Цена электродрели, входящей в комплект инструментов, составляет 80% цены всего комплекта. После повышения цен на инст­рументы новая цена дрели стала равной прежней цене всего комплекта. На сколько процентов повысились цены на инструменты?

Задание 7. Писатель фирмы, получив гонорар 150 000 рублей, решил положить эти деньги в банк. Для уменьшения риска он разделил всю сумму на две части и положил их в два банка: в первый - под 4% годовых, а во второй - под 3% годовых. Через год первый вклад принес доход в два раза больший, чем второй. Какую сумму по­ложил писатель в первый банк?

Задание 8. За 6,5 кг винограда и 10 кг че­решни заплатили 800 рублей. При сезонном из­менении цен виноград подешевел на 60%, а черешня подорожала на 40%. В результате вся покупка подешевела на 35%. Сколько стоит 1 кг черешни после подорожания?

Задание 9. Стоимость 30 экземпляров учеб­ника геометрии для 10 класса и 45 экземпляров учебника геометрии для 11 класса составляет 6000 рублей. С учетом скидки в размере 5% на учебники для 10 класса и 10% на учебники для 11 класса реальная стоимость покупки составила 5520 рублей. Найдите цену учебника геометрии для 11 класса с учетом скидки.

Задание 10. Две картины общей стоимостью 30 000 рублей продали на аукционе с прибылью в 40%, причем от продажи одной картины было получено 25% прибыли, а от другой —50%. Най­дите стоимость более дорогой картины.

Задание 11. В связи с финансовыми проблема­ми дирекция предприятия уменьшила продолжи­тельность рабочего дня с 8 до 7 часов. На сколь­ко процентов предстоит рабочим повысить про­изводительность труда, чтобы при тех же расцен­ках их заработная плата возросла на 5%?

Задание 12. Владелец дискотеки имел стабиль­ный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и владелец стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначаль­ной цене билетов. На сколько процентов владе­лец дискотеки снизил новую цену билетов, что­бы она стала равна первоначальной?

Задание 33. Цену товара повысили на 150%.На сколько процентов надо уменьшить получен­ную цену товара, чтобы она стала равна первона­чальной цене?

Задание 14. Торговая база закупила партию аль­бомов у изготовителя и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изго­товителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изго­товителя, если на распродаже он приобрел аль­бом за 70,2 рубля?

Задание 15. Вследствие повышения квалифи­кации рабочего его производительность труда повышалась дважды в течение года на одно и то же число процентов. На сколько процентов воз­растала каждый раз производительность труда, если за одно и то же время рабочий раньше вырабатывал изделий на 7500 рублей, а теперь на 8427 рублей, причем расценки за это время не менялись?

Задание 16. В первом полугодии фабрика вы­полнила 105% полугодового плана выпуска швейных изделий, а во втором полугодии выпус­тила продукции на 4% больше, чем в первом. На сколько процентов фабрика перевыполнила го­довой план, если планы выпуска готовой продук­ции в первом и втором полугодиях одинаковые?

Задание 17. Новый владелец магазина снизил цены на одну треть, однако через некоторое вре­мя вынужден был вернуться к старым ценам. На сколько процентов он при этом увеличил цены?

Задание 18. Для привлечения клиентов владель­цы медицинского центра снизили стоимость ус­луг на 20%. По окончании рекламной акции они вернулись к начальным расценкам. На сколько процентов для этого они повысили стоимость услуг в центре?

Задание 19. До распродажи мужской и женский костюмы стоили одинаково. В начале распродажи на 15% была снижена цена на мужской костюм, но покупателя не нашлось, поэтому еще раз сни­зили цену на 15%. На сколько процентов нужно однократно снизить цену на женский костюм, что­бы оба костюма снова стали стоить одинаково?

Задание20. Сплавили 2 кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6 кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найди­те процентную концентрацию меди в получив­шемся сплаве.

Задание 21. Смешали 300 г 60%-ного раство­ра серной кислоты и 200 г 80%-ного раствора серной кислоты. Сколько процентов серной кис­лоты в получившемся растворе?

Задание 22. Имеется два сплава. Один содер­жит 2,8 кг золота и 1,2 кг примесей, другой— 2,7 кг золота и 0,3 кг примесей. Отрезав по куску от каждого сплава и сплавив их, получили 2 кг сплава с содержанием золота 85%. Сколь­ко килограммов металла отрезали от второго сплава?

Задание 23. В смеси ацетона и спирта ацетона в 2 раза меньше, чем спирта. Когда к этой смеси добавили 300 л спирта, получили смесь с содер­жанием ацетона 28%. Сколько литров ацетона было в смеси первоначально?

Задание 24. Отношение массы олова к массе свинца в куске сплава равно 2:3. Этот кусок сплавили с куском олова весом 3 кг и получили новый сплав с содержанием свинца 10%. Най­дите массу олова в новом сплаве.

Задание 25. Имеются два слитка сплава олова с медью. Первый слиток содержит 230 г олова и 20 г меди, а второй слиток - 240 г олова и 60 г меди. От каждого слитка отрубили по куску, сплавили их и получили 300 г сплава. Сколько граммов отрубили от первого слитка, если в по­лученном сплаве было 84% олова?

Задание 26. В двух одинаковых сосудах нахо­дятся растворы серной кислоты концентрации 28,7% и 37,3%. Растворы сливают. Какова кон­центрация полученного раствора кислоты?

Задание 27. У ювелира два одинаковых по мас­се слитка, в одном из которых 36% золота, а в другом 64%. Сколько процентов золота содер­жится в сплаве, полученном из этих слитков?

Задание 28. У кузнеца имеется два одинаковых по массе бронзовых бруска. В одном олово состав­ляет 43% массы, а в другом медь составляет 43% массы. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный при переплавке этих брусков?

Задание 29. Для приготовления маринада не­обходим 2%-ный раствор уксуса. Сколько нуж­но добавить воды в 100 г 9%-ного раствора ук­суса, чтобы получить раствор для маринада?

Задание 30. Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли. Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80 л морской воды с 5%-ным содержанием соли, чтобы получить воду, пригодную для заполнения аквариума?

Задание 31. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 2 т целлюлозной массы, содержа­щей 85% воды, чтобы получить массу с 75% содержанием воды?

Задание 32. Огурцы содержат 99% воды. В ма­газин привезли 1960 кг свежих огурцов, но в ре­зультате неправильного хранения содержание воды в огурцах понизилось до 98%. Сколько ки­лограммов огурцов поступило в продажу?

Задание 33. Сколько литров воды нужно доба­вить к 12 л уксусной эссенции (смесь уксуса и воды) с содержанием уксуса 80% для приготов­ления столового уксуса с содержанием воды 94%?

Задание 34. В ювелирной мастерской имеется два сплава золота различной пробы: с содержа­нием золота 58% и 95%. Сколько граммов спла­ва с 95%-ным содержанием золота нужно взять, чтобы получить 37 г сплава с 70%-ным содер­жанием золота?