double arrow

Точные и приближенные числа, источники погрешностей, классификация погрешностей

Буренков С. И., Сидоров И. М.

Б 91 Численные методы анализа: курс лекций / С. И. Буренков, И. М. Сидоров. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2008. – 87 с.

 

 

В работе излагаются теоретические аспекты численных методов решений систем линейных алгебраических и нелинейных уравнений. Описаны методы экстраполяции и интерполяции функций. Приведены методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Все описанные методы сопровождаются большим количеством примеров и контрольных заданий по каждой теме. Для самостоятельного контроля знаний студентов представлены вопросы для самопроверки и тесты.

Конспект лекций предназначен для студентов и преподавателей технических университетов.

 

Библиогр. 18 назв. Ил. 4.

 

 

УДК 519.6 (075.8)

ББК 22.193я73

 

 

© Буренков С.И., Сидоров И.М., 2008

© Иркутский государственный технический университет, 2008

 

Оглавление

 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ.................................................  
ЛЕКЦИЯ 1. Понятие погрешности решения систем алгебраических уравнений......................................................  
1.1. Точные и приближенные числа, источники погрешностей, классификация погрешностей................................  
1.2. Абсолютные и относительные погрешности....................  
1.3. Понятие о системе линейных уравнений.......................  
1.4. Матричные уравнения......................................  
Лекция 2. Точные и приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау)  
2.1. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений  
2.2. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)  
Лекция 3. Приближенные методы решения слау  
3.1. Понятие предела для векторов и матриц  
3.2. Метод простой итерации  
Условия сходимости итерационного процесса  
3.4. Оценка погрешности приближенного процесса методом итерации  
Лекция 4. Метод Зейделя  
   
4.1. Условия сходимости процесса Зейделя  
4.2. Оценка погрешности процесса Зейделя  
4.3. Приведение системы линейных уравнений к виду, удобному для итераций  
Лекция 5. Методы решения нелинейных уравнений  
5.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений  
5.2. Метод Рыбакова  
5.3. Метод наискорейшего спуска  
Лекция 6. Интерполирование и экстраполирование  
6.1. Интерполяционный многочлен лагранжа  
6.2. Оценка погрешности интерполяционного многочлена лагранжа  
Лекция 7. Конечные разности  
7.1. Первая интерполяционная формула ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции  
7.2. Вторая интерполяционная формула ньютона  
7.3. Оценка погрешностей интерполяционных формул ньютона  
Лекция 8. Линейное интерполирование  
8.1. Интерполирование по Эйткину  
8.2. Интерполяция и приближение сплайном  
Лекция 9. Численное интегрирование функций  
9.1. Постановка задачи  
9.2. Формула прямоугольников  
9.3. Формула трапеций.  
9.4. Формула парабол (формула симпсона).  
Лекция 10. Численные методы решения задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений  
10.1. Задача коши. Общие замечания. Постановка задачи  
10.2. Метод Эйлера  
10.3. Модифицированный метод Эйлера  
10.4. Метод Рунге-Кутта  
Лекция 11. Разностный метод решения уравнений математической физики (метод сеток)  
11.1. Метод сеток для уравнения параболического типа  
Лекция 12. Метод сеток для уравнения гиперболического типа  
12.2. Метод сеток для уравнений пуассона и лапласа  
Образцы выполнения контрольных работ  
   
Контрольная работа № 5  
Контрольная работа № 6  
Контрольная работа №7  
Контрольная работа №8  
Примеры заданий для самостоятельной работы  
Задание 1  
Задание 2  
Задание 3  
Задание 4  
Задание 5  
Задание 6  
Задание 7  
Задание 8  
Вопросы для самостоятельной подготовки  
Библиографический список  

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Прогресс вычислительной техники и методов программирования позволяет точнее моделировать физические и технические процессы для оптимизации и эффективности производственной деятельности человека, позволяет прогнозировать протекание исследуемых процессов в других условиях и при других параметрах. Как известно, существует всего 8 физических задач, которые решаются точно, остальные решаются лишь приближенно.

Кроме того, данные экспериментов, необходимые для решения практических задач, тоже даны в виде приближенных чисел. Поэтому каждый инженер, который по роду своей деятельности постоянно сталкивается с вычислительными задачами, возникающими при исследовании физических и технических проблем, должен иметь твердые навыки работы с приближенными числами и стандартными численными методами.

В данном учебном пособии рассматриваются численные методы решения задач наиболее часто встречающихся в инженерной и научно-технической практике, а именно: приближенное решение систем линейных алгебраических уравнений и приближенное решение нелинейных уравнений.

Рассматриваются различные методы интерполяции и экстраполяции для приближенного вычисления значений функций. Дан метод интерполяции сплайнами. Авторы планируют продолжить рассмотрение численных методов дифференциального и интегрального исчисления.

Лекции содержат достаточно полное изложение основных вопросов курса вычислительной математики, соответствующих требованиям к минимуму обязательной программы по подготовке дипломированных специалистов.

 

 


ЛЕКЦИЯ 1. ПОНЯТИЕ ПОГРЕШНОСТИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Точные и приближенные числа, источники погрешностей, классификация погрешностей

 

Приближенным числом a называется число, незначительно отличающееся от точного числа A и заменяющее последнее в вычислениях. При решении задач вручную или на компьютере, мы получаем числовой результат, который не является точным, так как при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности. Поэтому любая задача, связанная с массовыми действиями над числами, может быть решена с той или иной степенью точности. Поэтому при постановке задачи должна быть указана точность ее решения, т.е. задана погрешность, максимально допустимая в процессе всех вычислений.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: