Вторая интерполяционная формула Ньютона

 

Для интерполирования в конце таблицы обычно применяют вторую интерполяционную формулу Ньютона.

Пусть на [ a,b ] даны n + 1 различные значения аргумента х ₀, х ₁, …, х_n,, которым соответствуют следующие значения

 

; ; …; ,

 

а шаг интерполяции постоянен и равен h, т.е. .

Построим интерполяционный многочлен вида

 

В этом многочлене неизвестны коэффициенты а ₀, а ₁, а ₂, …, а_n. Их надо подобрать так, чтобы были возможны равенства:

; ; …; .

Для этого необходимо и достаточно, чтобы

.

Коэффициент а ₀ найдем, положив х = х_n в равенстве (7.4)

 

откуда

 

Отсюда, полагая х = х_{n- 1} имеем , следовательно

.

Из выражения для второй конечной разности имеем а ₂

 

 

Полагая х = х_{n- 2}, получим

,

откуда

, .

Подставляя найденные значения коэффициентов, получим:

 

Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона. Положим q = (x - x_n) /h, тогда

 

; ;

 

(7.5)

 

Первая интерполяционная формула Ньютона используется для интерполирования в начале отрезка [ a,b ], а вторая – на конечном участке таблицы.